На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки K и М по одну сторону от диаметра основания АВ так, что плоскости ASK и BSM наклонены к плоскости основания конуса 
и 
а) Докажите, что плоскость KMS наклонена к плоскости основания конуса под углом 60°.
б) Найдите площадь треугольника SKM, если радиус основания конуса равен 2.
а) Пусть точка O — центр основания конуса, точки D, E, F — середины отрезков AK, KM и MB соответственно. Из условия получаем соотношения
Пусть 
тогда 
и 
Из прямоугольного треугольника AOD находим 
а потому
Аналогично из треугольников BOF и BOM находим:
Следовательно,
Равенство косинусов означает равенство углов, поэтому 
Следовательно, треугольники KOM и BOM равны по двум сторонам и углу между ними, а потому равны и их медианы: 
Значит, равны прямоугольные треугольники SOE и SOF, откуда 
Угол SEO — линейный угол двугранного угла между плоскостью KMS и плоскостью основания, поэтому
откуда 
б) Треугольник KOM — ортогональная проекция треугольника SKM на плоскость основания. Площадь проекции относится к площади проецируемой фигуры как косинус угла между ними, поэтому
Ответ: 