а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S от­ме­че­ны точки K и М по одну сто­ро­ну от диа­мет­ра ос­но­ва­ния АВ так, что плос­ко­сти ASK и BSM на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са под уг­ла­ми и при­чем точка М при­над­ле­жит дуге ВK, не со­дер­жа­щей точку А. Тан­генс угла на­кло­на об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са к плос­ко­сти ос­но­ва­ния равен 

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KMS на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са под углом 60°.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка SKM, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 2.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

16 но­яб­ря Ари­старх взял в банке в кре­дит 1 мил­ли­он руб­лей на шесть ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы:

—  28-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10 % по срав­не­нию с 16-м чис­лом те­ку­ще­го ме­ся­ца;

—  с 1-го по 10-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в слу­чае за­держ­ки вы­плат (от 1 до 5 дней) до­пол­ни­тель­но взи­ма­ют­ся пени: за каж­дые про­сро­чен­ные сутки 1% от суммы, ко­то­рую не­об­хо­ди­мо было вы­пла­тить в те­ку­щем ме­ся­це;

—  16-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии с таб­ли­цей:

Опре­де­ли­те, сколь­ко тысяч руб­лей Ари­старх вы­пла­тит банку сверх взя­то­го кре­ди­та, если из­вест­но, что он осу­ществ­лял вы­пла­ты 7 де­каб­ря, 12 ян­ва­ря, 10 фев­ра­ля, 9 марта, 1 ап­ре­ля и 15 мая.

Внут­ри квад­ра­та ABCD от­ме­че­на точка О, а через нее про­ве­де­ны пря­мые, па­рал­лель­ные сто­ро­нам квад­ра­та, пе­ре­се­ка­ю­щие сто­ро­ны АВ, ВС, CD и DA в точ­ках X, Y, Z и T со­от­вет­ствен­но, DY  — бис­сек­три­са угла XYC.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка XBYO в два раза боль­ше пло­ща­ди ZDTO.

б)  Най­ди­те сто­ро­ну квад­ра­та, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что а пло­щадь наи­мень­ше­го из пря­мо­уголь­ни­ков, на ко­то­рые квад­рат де­лит­ся пря­мы­ми XZ и YT равна 15.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния.

На­ту­раль­ное число n будем на­зы­вать осо­бым, если все его цифры не­чет­ные.

а)  Сколь­ко осо­бых чисел

б)  Бес­ко­неч­ная воз­рас­та­ю­щая по­сле­до­ва­тель­ность где со­сто­ит из всех осо­бых чисел. Чему равно a₁₀₀?

в)  Какие квад­ра­ты на­ту­раль­ных чисел будут осо­бы­ми?