Окружность, вписанная в квадрат ABCD, касается его стороны AB в точке K, а стороны AD в точке E. Отрезки CK и CE пересекают окружность в точках M и P соответственно.
а) Докажите, что прямые EK и MP параллельны.
б) Найдите ME, если сторона квадрата равна 30.
а) Если из внешней точки окружности проведены две секущие, то произведения всей длины каждой из них на длину внешней части каждой из них равны:
Треугольники CMP и CKE подобны по двум парам пропорциональных сторон и углу между ними, откуда 
Следовательно, прямые EK и MP параллельны.
б) Пусть точка O — центр окружности. Треугольник EOK — равнобедренный и прямоугольный, поэтому 
Вписанный угол KME и центральный угол KOE опираются на одну и ту же дугу, поэтому 
Из условия 
следовательно, из прямоугольного треугольника CBK находим 
Применим теорему синусов для треугольника EMK, получим:
Ответ: 