В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на ребрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что AM = 3MA1, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно плоскости ABB1A1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1.
б) Найдите расстояние от точки A1 до плоскости α, если все ребра призмы равны 16.
а) Отрезок KC1 является медианой правильного треугольника A1B1C1, а потому является и высотой этого треугольника. Призма ABCA1B1C1 — прямая, поэтому ее боковые ребра являются высотами призмы. Следовательно, отрезок KC1 перпендикулярен ребру AA1. Таким образом, плоскость MKC1 перпендикулярна плоскости ABB1A1.
б) Пусть искомое расстояние равно ρ. Из условия следует, что 
Запишем объем пирамиды C1A1KM двумя способами и выразим ρ:
Прямая C1K перпендикулярна плоскости грани ABB1, поэтому она перпендикулярна лежащей в ней прямой KM, то есть треугольник C1MK — прямоугольный. Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников C1A1K и A1MK соответственно:
Таким образом,
Ответ: 