Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 697905
i

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны B и C пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и пе­ре­се­ка­ет катет AC в точке K, а ги­по­те­ну­зу AB  — в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AKM и ABC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка CKMB, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 29 конец ар­гу­мен­та , ка­те­ты AC и BC равны 12 и 4 со­от­вет­ствен­но.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  От­ре­зок KB  — хорда, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся пря­мой угол, то есть диа­метр окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, впи­сан­ный угол KMB  — пря­мой, по­то­му что опи­ра­ет­ся на диа­метр. Смеж­ный с ним угол AMK также пря­мой, тогда тре­уголь­ни­ки AKM и ABC по­доб­ны по двум углам.

б)  Най­дем пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка CKMB как сумму пло­ща­дей пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков CKB и BMK. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков KCB и ABC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем:

CK = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: KB в квад­ра­те минус BC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 29 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 116 минус 16 конец ар­гу­мен­та = 10,

AB = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AC в квад­ра­те плюс AB в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 144 плюс 16 конец ар­гу­мен­та = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AKM и ABC по­лу­ча­ем дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: AK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: AM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: KM конец дроби , от­ку­да

AM = дробь: чис­ли­тель: AC умно­жить на левая круг­лая скоб­ка AC минус CK пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,

KM = дробь: чис­ли­тель: BC умно­жить на левая круг­лая скоб­ка AC минус CK пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,

BM = AB минус AM = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 17 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Таким об­ра­зом, пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка CKMB равна

S_CKMB = S_CKB плюс S_BMK = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на CK умно­жить на CB плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на BM умно­жить на KM =
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 10 умно­жить на 4 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 17 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = 20 плюс дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 117, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 117, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 697905: 697934 Все

Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026