Точки M и N — середины сторон соответственно AB и AC треугольника ABC. Прямая, проходящая через вершину A, пересекает отрезки MN и BC в точках K и L соответственно, причем в четырехугольник BMKL можно вписать окружность.
а) Докажите, что периметр треугольника AMK вдвое больше отрезка BL.
б) Найдите AL, если AB = 12, BC = 16, AC = 20.
а) Прямая MK параллельна прямой BL, поэтому прямая MK проходит через середину отрезка AL, откуда 
Отрезок MK — средняя линия треугольника ABL, то есть 
В четырехугольник BMKL можно вписать в окружность, следовательно,
Выразим периметр треугольника AMK:
б) Для длин сторон треугольника ABC верно равенство 
поэтому треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом ABC по теореме, обратной теореме Пифагора. Пусть 
Из доказанного в пункте а) получаем:
откуда 
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABL находим:
Таким образом,
Ответ: б) 15.
Примечание.
Условие неоднозначно описывает положение точки L. На рисунке в решении она выбрана на продолжении прямой BC за точку B. Однако точку L можно было расположить и на отрезке BC — рисунок для этого случая изображен справа. Такое расположение отрезков и точек получается зеркальным отражением отрезка AL относительно прямой AB. Все длины и отношения из решения сохранят свою силу и в этом случае.