а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCDEF лежит пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник ABCDEF со сто­ро­ной 4. Точка S рас­по­ло­же­на вне плос­ко­сти ос­но­ва­ния так, что а объем пи­ра­ми­ды равен 

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые SB и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SB и AC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2027 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 1 000 000 руб­лей на шесть лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь 2028 года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить 200 000 руб­лей;

—  в по­сле­ду­ю­щие пять лет (2029–2033) долг дол­жен умень­шать­ся рав­но­мер­но на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый год по срав­не­нию с июлем преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2033 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат со­ста­ви­ла 1 370 000 руб­лей.

Точки M и N  — се­ре­ди­ны сто­рон со­от­вет­ствен­но AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну A, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки MN и BC в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но, при­чем в че­ты­рех­уголь­ник BMKL можно впи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка AMK вдвое боль­ше от­рез­ка BL.

б)  Най­ди­те AL, если AB  =  12, BC  =  16, AC  =  20.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел Обо­зна­чим их про­из­ве­де­ние через P, а их сумму через S.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство P  =  4S, если n  =  3?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство P  =  4S, если n  =  5?

в)  Най­ди­те все зна­че­ния n, при ко­то­рых может вы­пол­нять­ся ра­вен­ство P  =  4S.