Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 699857
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 плюс a в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те x в квад­ра­те конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3x в квад­ра­те плюс 3a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ax конец дроби плюс 4 = a

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При a = 0 дроби в левой части не опре­де­ле­ны. Число x = 0 не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния. При про­чих а и x имеем:

дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 плюс a в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те x в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: a конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2,

дробь: чис­ли­тель: 3x в квад­ра­те плюс 3a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ax конец дроби = 3 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: a конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пусть t = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: a конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: x конец дроби , тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

t в квад­ра­те минус 2 минус 3t плюс 4 = a рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 3t плюс 2 минус a = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t = дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , t = дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Сумма двух вза­им­но об­рат­ных чисел равна 2, если эти числа равны и боль­ше двух, если числа раз­лич­ны. По­это­му урав­не­ние t = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: a конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: x конец дроби имеет два ре­ше­ния, если |t| боль­ше 2, и не имеет ре­ше­ний, если |t| мень­ше 2. Ис­ход­ное урав­не­ние будет иметь два раз­лич­ных ре­ше­ния, если один из кор­ней t дает два корня, а дру­гой  — ни од­но­го, либо если каж­дый из кор­ней t дает по од­но­му ре­ше­нию, и эти ре­ше­ния раз­лич­ны.

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай:

си­сте­ма вы­ра­же­ний \abs дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 2, \abs дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 2, минус 2 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 1 конец ар­гу­мен­та боль­ше 1, минус 7 мень­ше минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 1 конец ар­гу­мен­та мень­ше 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4a плюс 1 боль­ше 1, минус 1 мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 1 конец ар­гу­мен­та мень­ше 7 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 0, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 1 конец ар­гу­мен­та мень­ше 7 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 0, 0 мень­ше или равно 4a плюс 1 мень­ше 49 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 0 мень­ше a мень­ше 12.

Вто­рой слу­чай не­воз­мо­жен, по­сколь­ку если од­но­вре­мен­но |t_1|=2 и |t_2|=2, то сумма кор­ней урав­не­ния t в квад­ра­те минус 3t плюс 2 минус a = 0 не может быть рав­ной 3.

 

Ответ: 0 мень­ше a мень­ше 12.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 539
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026