а)  Сумма углов AMH и AKH равна 180°, по­это­му че­ты­рех­уголь­ник AMHK  — впи­сан­ный. Впи­сан­ные углы HMK и KAH опи­ра­ют­ся на одну дугу, а по­то­му равны. Пря­мые CT и HM со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой AB, то есть эти пря­мые па­рал­лель­ны, тогда при пе­ре­се­че­нии их се­ку­щей MK об­ра­зу­ют­ся рав­ные на­крест ле­жа­щие углы HMK и MET. Углы MET и KEC равны как вер­ти­каль­ные, а От­сю­да сле­ду­ет, что а по­сколь­ку точки E и H лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CK, то че­ты­рех­уголь­ник EHCK  — впи­сан­ный. Впи­сан­ные углы HKC и HEC опи­ра­ют­ся на одну дугу, а по­то­му равны: Таким об­ра­зом, пря­мые HE и AB со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой CT, то есть па­рал­лель­ны.

б)  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC на­хо­дим:

Пусть тогда по­лу­ча­ем от­ку­да В силу ра­вен­ства пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ABH и CBT по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу на­хо­дим:

Сле­до­ва­тель­но,

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MET по­лу­ча­ем а по­то­му

Ответ: б) 

При­ве­дем дру­гое до­ка­за­тель­ство пунк­та а).

Углы ATC и AHC  — пря­мые и опи­ра­ют­ся на одну сто­ро­ну AC. Сле­до­ва­тель­но, точки T и H лежат на одной окруж­но­сти с диа­мет­ром AC. По тео­ре­ме Сим­со­на ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров, про­ве­ден­ных из слу­чай­ной точки опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ных к его сто­ро­нам или их про­дол­же­ни­ям, лежат на одной пря­мой  — пря­мой Сим­со­на. Пер­пен­ди­ку­ля­ры, про­ве­ден­ные из точки H, ле­жа­щей на опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ATC, пе­ре­се­ка­ют сто­ро­ну AT на ее про­дол­же­нии за точку T в точке M и сто­ро­ну AC в точке K со­от­вет­ствен­но. Сле­до­ва­тель­но, пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный из точки H к сто­ро­не CT, пе­ре­се­ка­ет эту сто­ро­ну в точке, ле­жа­щей на пря­мой MK. Это точка E.

Сле­до­ва­тель­но, пря­мая HE пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CT. Пря­мая CT пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым AB и HE, а по­то­му пря­мые AB и HE па­рал­лель­ны.