Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пря­мой тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 в ос­но­ва­нии лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с пря­мым углом B и с ка­те­та­ми, рав­ны­ми 6. Бо­ко­вые рёбра приз­мы равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  2, CN  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MNB1 раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б)  Най­ди­те объём тет­ра­эд­ра MNBB1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Вы­чис­лим объем тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1:

V_ABCA_1B_1C_1 = S_ABC умно­жить на BB_1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 6 умно­жить на 6 умно­жить на 6 = 108.

Про­ве­дем вы­со­ту B1H в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке A1B1C1. Плос­ко­сти AA1C1C и A1B1C1 пря­мой приз­мы пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­это­му пря­мая B1H пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AA1C1C. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая B1H  — вы­со­та че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды B1MA1C1N. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка A1B1C1 по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

AC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 плюс 36 конец ар­гу­мен­та = 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равна про­из­ве­де­нию длин ка­те­тов, де­лен­но­му на длину ги­по­те­ну­зы:

B_1H = дробь: чис­ли­тель: A_1B_1 умно­жить на B_1C_1, зна­ме­на­тель: A_1C_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции MA1C1N:

S_MA_1C_1N = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка MA_1 плюс NC_1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на A_1C_1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = 27 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Объем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды B1MA1C1N равен

V_B_1MA_1C_1N = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_MA_1C_1N умно­жить на B_1H = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 27 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = 54,

а по­то­му

V_B_1NMCBA = V_ABCA_1B_1C_1 минус V_B_1MA_1C_1N = 108 минус 54 = 54.

Таким об­ра­зом, плос­кость MNB1 раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б)  Вы­чис­лим пло­щадь тра­пе­ции AMNC и объем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды BAMNC со­от­вет­ствен­но:

S_AMNC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка AM плюс NC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на AC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

V_BAMNC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_AMNC умно­жить на B_1H = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = 18.

Сле­до­ва­тель­но, объём тет­ра­эд­ра MNBB1 равен

V_MNBB_1 = V_B_1NMCBA минус V_BAMNC = 54 минус 18 = 36.

Ответ: б)  36.


-------------
Дублирует задание № 701906.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026