СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 11 № 99600

Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Решение.

Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой – 1 деление/час. До четвертой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 3 раза «обогнать» часовую, то есть пройти 3 круга по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 36 делений, ещё 8 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 8 часов) и последних L делений. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок:

 

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.

 

Ответ: 240.

 

Приведем другое решение.

Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут.

 

По просьбам читателей помещаем общее решение.

Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время h часов m минут часовая стрелка повернута на 30h + 0,5m градусов, а минутная — на 6m градусов относительно 12-часового деления.

Пусть в первый раз стрелки встретятся через t1 минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то 6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1, т. е. t1 = (60h − 11m)/11 (*). В противоположном случае получаем уравнение 6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1 + 360, откуда t1 = (60h − 11m + 720)/11 (**).

Пусть во второй раз стрелки встретятся через t2 минут после первого, тогда 0,5t2 = 6t2 − 360, откуда t2 = 720/11 (***). Это же верно для каждого следующего оборота.

Поэтому для встречи с номером n из (*) и (**) с учетом (***) имеем соответственно: tn = (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или tn = (60h − 11m + 720n)/11.

Классификатор базовой части: Задачи на движение по окружности
Спрятать решение · ·
Екатерина Ванова 22.09.2013 21:08

Здравствуйте! Ваше решение годится только для частных случаем. По этому образцу аналогичные задачи не решаются.

 

Например, № 114773:

Часы со стрелками показывают 1 час 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?

 

Или задание 114661:

Часы со стрел­ка­ми по­ка­зы­ва­ют 6 часов 35 минут. Через сколь­ко минут ми­нут­ная стрел­ка в пятый раз по­рав­ня­ет­ся с ча­со­вой?, где получилось уравнение L/1 = (11+48+L)/12, откуда L=59/11. Не получается. Поместите, пожалуйста, другое универсальное решение.

Служба поддержки

Общее решение поместили выше. См. так же обсуждение задачи № 114785.

Александр Чердинцев 14.03.2014 18:46

Здравствуйте. По-моему, Вы не правы. Рассмотрим данный случай с нематиматической позиции. После 8 нужно отсчитать случаи, когда минутная приравнивается к часовой. Это будут 8:40, 9:45, 10:50, 11:55. Таким образом, количество пройденных минут равно 40+65+65+65=235.

Сергей Никифоров

Вы считаете, что часовая стрелка движется скачками, один раз в час. На самом деле она движется непрерывно.

Артем Третьяков (Тульская область) 03.06.2014 15:07

в общем решении в самом последнем примере допущена ошибка: формула должна выглядеть так: t(n)=(60h-11m+720n-720)/11. в вашем примере пропущено 720

Сергей Никифоров

Это решения для двух различных случаев: когда минутная стрелка ещё не опережала часовую и наоборот.

Служба поддержки 19.10.2014 19:21

Здрав­ствуй­те!

 

У меня вы­ве­лась вот такая фор­му­ла: t = 60*k +5*k - (60 - n1).

60*k - счи­та­ем ко­ли­че­ство прой­ден­ных минут ми­нут­ной стрел­кой,

5*k - ко­ли­че­ство минут, ко­то­рые про­хо­дит ча­со­вая стрел­ка за час (сме­ще­ние).

(60 - n1) - это раз­ни­ца минут в на­чаль­ных по­ло­же­ни­ях между ми­нут­ной и ча­со­вой стрел­кой (если счи­тать между ча­со­вой и ми­нут­ной, то можно на­пи­сать про­сто n2).

 

Про­стая за­пись будет, со­от­вет­ствен­но: t = 65*k - (60 - n1), или t = 65 * k - n2.

 

Про­сто в ваших ре­ше­ни­ях не уни­вер­саль­ная фор­му­ла и какая-то страш­нень­кая... я в ней даже раз­би­рать­ся не стал. А эта очень про­стая, ра­бо­та­ет... Можно ли ее ис­поль­зо­вать в ре­ше­ни­ях? Или она не так уни­вер­саль­на?