В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 7. На его ребре BB₁ от­ме­че­на точка K так. что KB  =  4. Через точки K и C₁ про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой BD₁.

а)  До­ка­жи­те, что A₁P : PB₁  =  1 : 3, где P  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с реб­ром A₁B₁.

б)  Най­ди­те объём боль­шей из двух ча­стей куба, на ко­то­рые он де­лит­ся плос­ко­стью α.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой четырёхуголь­ной приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD со сто­ро­ной вы­со­та приз­мы равна Точка K  — се­ре­ди­на ребра BB₁. Через точки K и C₁ про­ве­де­на плос­кость α па­рал­лель­ная пря­мой BD₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью α.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R со­от­вет­ствен­но так, что PA  =  AQ  =  RC  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость PQR пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D до плос­ко­сти PQR.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 24, а бо­ко­вое ребро SA равно 19. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б)  Най­ди­те пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.