а) Заметим, что выражения под логарифмами должны быть положительны, а знаменатель не равен нулю, то есть корни уравнения должны удовлетворять следующим условиям:

При выполнении этих условий уравнение равносильно совокупности

Условиям удовлетворяет только

б) Имеем:

Единственным решением полученного двойного неравенства является которому соответствует корень

Ответ: а) б)

а) Пусть плоскость α пересекает ребро AA₁ в точке R. Заметим, что полученное сечение DRMQ — параллелограмм. Его диагональ QR параллельна прямым AC и A₁C₁. Пусть теперь O — точка пересечения диагоналей DRMQ, а O′ — её проекция на основание ABCD. Заметим теперь, ARQC — прямоугольник, и Точка O — середина MD, а O′ — середина BD. Следовательно, OO′ — средняя линия треугольника DBM. Тогда

то есть

б) Заметим, что треугольники DAR и DCQ равны, следовательно, и, значит, DRMQ — ромб. Найдём его диагонали:

Тогда

Ответ: б)

В силу формулы имеем:

при условиях

Используя формулу получаем:

Пусть Заметим, что при любых значениях x. Имеем:

Вернёмся к исходной переменой:

Ответ:

а) Рассмотрим окружность, построенную на AC как на диаметре. Углы AEC и ADC равны 90°, следовательно, E и D лежат на этой окружности. Углы EDA и ECA равны как вписанные, значит, треугольники EDP и APC подобным по двум углам. Коэффициент подобия равен значит, и отношение радиусов равно 5 : 13.

б) Пусть M — середина ED, N — середина AC, AC — диаметр окружности, проходящей через E и D. Тогда

следовательно, треугольнике NED — равнобедренный, NM — медиана и высота.

Тогда

откуда

Ответ: а) 5 : 13, б) 12.

Пусть сумма вклада равна S, и вклад был открыт на n месяцев. По условию, Пусть первые k месяцев у Александры процентная ставка составила 81,44% в месяц. Тогда

Откуда

Преобразуем дробь:

Тогда

С учётом ограничений на n существует только три решения: или Значит, наибольшее количество месяцев, которое могла действовать ставка 81,44%, равно трём.

Ответ: 3 месяца.

Преобразуем систему:

Заметим, что не является корнем второго уравнения, а значит, и решением системы. Тогда, обе части второго уравнения системы можно разделить на

Во втором уравнении каждому значению x, кроме соответствует ровно одно значение Значит, количество решений системы равно количеству решений первого уравнения системы. Заметим, что

Требуется найти при каких значениях параметра a уравнение (*) имеет ровно один корень, не равный −2.

При уравнение является линейным и имеет один корень

При уравнение является квадратным. Найдём его дискриминант и исследуем его:

Получаем, что:

— при уравнение имеет ровно один корень;

— при уравнение не имеет корней;

— при уравнение имеет два корня.

Осталось выяснить, при каких значениях параметра a корнем уравнения (*) является число −2. Подставим:

Значит, исходная система имеет единственное решение при или или

Ответ:

а) Да, например, можно расположить монеты так:

0	1	2
2	2	0
3	3	5

б) Нет. Минимально возможные суммы составляют 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 монет, при этом каждая монета считается ровно два раза. Значит, их количество не меньше

в) Из предыдущего пункта ясно, что обойтись менее чем 8 монетами невозможно; 8 монет можно разместить, например, так:

0	2	4
1	1	0
0	0	0

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.