Вариант № 8554397

А. Ларин: Тренировочный вариант № 130.

Найдите все корни уравнения sin(2^x) = 1, удовлетворяющие неравенству $|2 в степени x минус 1| плюс |2 в степени x минус 8|\le7.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Все плоские углы при вершине S пирамиды SABC прямые.

а) Докажите, что точка S, точка пересечения медиан треугольника ABC и точка, равноудаленная от вершин пирамиды (центр описанной сферы), лежат на одной прямой.

б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду SABC, если известно, что SA = 2, SB = 3, SC = 4.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Решите неравенство $x в степени 2 плюс x корень из { 3 минус 3x в степени 2 }\ge0,5 плюс x.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

В равнобокой описанной трапеции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD — основания, проведены: 1) биссектриса угла B; 2) высота из вершины С; 3) прямая, параллельная AB и проходящая через середину отрезка CD.

а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.

б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции ABCD, если известно, что BC = 8, AD = 18.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Два человека, у которых имеется один велосипед, должны попасть из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км. Первый движется пешком со скоростью 4 км/ч, а на велосипеде — со скоростью 30 км/ч. Второй движется пешком со скоростью 6 км/ч, а на велосипеде — со скоростью 20 км/ч. За какое наименьшее время они могут добраться из А в В?

Велосипед можно оставлять на дороге без присмотра.

Гоша-1	Гоша-2
Пешая скорость 4 км/ч, на велосипеде 30 км/ч.	Пешая скорость 6 км/ч, на велосипеде 20 км/ч.
На велосипеде проехал x ч. За это время преодолел путь 30x км.	Пешим ходом прошел 30x км, на что потратил 30x : 6 = 5x часов.
Оставшиеся (40 − 30x) км прошел пешком за (40 − 30x) : 4 = (20 − 15x) : 2 часа.	Оставшиеся (40 − 30x) км проехал на велосипеде за (40 − 30x) : 20 = (4 − 3x) : 2 часа.
Всего времени затрачено
$x плюс дробь, числитель — 20 минус 15x, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 20 минус 13x, знаменатель — 2$ часа.	$5x плюс дробь, числитель — 4 минус 3x, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 7x плюс 4, знаменатель — 2$ часа.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	3
Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.	2
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Парабола p₂ симметрична параболе p₁, заданной уравнением y = ax² (a > 0), относительно точки T(b; ab²), b > 0. Некоторая прямая пересекает каждую параболу ровно в одной точке: p₁ — в точке A₁, p₂ — в точке A₂ так, что угол A₁A₂T прямой. Касательная к параболе p₁, проведенная в точке T, пересекает прямую A₁A₂ в точке K. Найдите отношение, в котором точка K делит отрезок A₁A₂.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Решите уравнение:

а) [2x] = {7x};

б) [2x] = 7x;

в) 2x = {7x}.

[a] — целая часть числа a, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее a;

{a} — дробная часть числа a, т. е. {a} = a − [a].

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511272	${{\log }_{2}} дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ,$ ${{\log }_{2}} дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 .$
2	511273	б) $дробь, числитель — 12, знаменатель — 13 плюс корень из { 61 }.$
3	511274	$левая квадратная скобка минус 1; минус синус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 18 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ; синус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 18 правая квадратная скобка .$
4	511275	б) $дробь, числитель — 65, знаменатель — 24 .$
5	511276	4 часа 48 минут.
6	511277	1 : 1.
7	511278	а) $0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 ; дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 ; дробь, числитель — 3, знаменатель — 7$ ; б) $минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 7$ ;0; в) $0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

А. Ларин: Тренировочный вариант № 130.

Ключ