а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан ци­линдр, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник, с цен­тра­ми ниж­не­го и верх­не­го ос­но­ва­ний в точ­ках O и O₁ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через диа­метр AB ниж­не­го ос­но­ва­ния и имеет с верх­ним ос­но­ва­ни­ем ровно одну общую точку K.

а)  До­ка­жи­те, что про­ек­ция точки K на плос­кость ниж­не­го ос­но­ва­ния лежит на пря­мой, про­хо­дя­щей через точку O пер­пен­ди­ку­ляр­но AB.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра верх­не­го ос­но­ва­ния (точки O₁) до плос­ко­сти α, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 15, а вы­со­та ци­лин­дра равна 20.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15-⁠го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 15 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по 14-⁠й долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  15-⁠го числа 15-⁠го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Из­вест­но, что по­след­ний (пят­на­дца­тый) пла­теж по кре­ди­ту со­ста­вил 306 тысяч руб­лей. Най­ди­те сумму, ко­то­рую пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма всех вы­плат после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 1195 тысяч руб­лей. Ответ дайте в тыс. руб­лей.

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Его диа­го­на­ли AC и BD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P и се­ре­ди­ну сто­ро­ны AD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная сто­ро­не BC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если из­вест­но, что от­рез­ки диа­го­на­лей равны: AP  =  3, BP  =  4, CP  =  8.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно 4 раз­лич­ных ре­ше­ния.

Уче­ник рас­смат­ри­ва­ет дробь где a и b  — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа, при­чем

а)  Может ли зна­че­ние этой дроби быть рав­ным 10?

б)  Может ли зна­че­ние этой дроби быть рав­ным 4?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное целое зна­че­ние этой дроби, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что