Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 142. Точка E  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCDE.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна  Най­ди­те ра­ди­ус сферы.

В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те бро­са­ют три иг­раль­ные кости. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 12 очков. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Две фаб­ри­ки вы­пус­ка­ют оди­на­ко­вые стек­ла для ав­то­мо­биль­ных фар. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 40% этих сте­кол, вто­рая  — 60%. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 2% бра­ко­ван­ных сте­кол, а вто­рая  — 4%. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ное в ма­га­зи­не стек­ло ока­жет­ся бра­ко­ван­ным.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 4^0,92 · 8^0,72.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен графи функ­ции   — про­из­вод­ной функ­ции На оси абс­цисс от­ме­че­но шесть точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. Сколь­ко из этих точек при­над­ле­жит про­ме­жут­кам воз­рас­та­ния функ­ции

Для обо­гре­ва по­ме­ще­ния, тем­пе­ра­ту­ра в ко­то­ром под­дер­жи­ва­ет­ся на уров­не через ра­ди­а­тор отоп­ле­ния про­пус­ка­ют го­ря­чую воду. Рас­ход про­хо­дя­щей через трубу ра­ди­а­то­ра воды m  =  0,6 кг/с. Про­хо­дя по трубе рас­сто­я­ние x мет­ров, вода охла­жда­ет­ся от на­чаль­ной тем­пе­ра­ту­ры до тем­пе­ра­ту­ры T, при­чем где   — теп­ло­ем­кость воды,   — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­об­ме­на, а α  =  0,9  — по­сто­ян­ная. Най­ди­те, до какой тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Цель­сия) охла­дит­ся вода, если длина трубы ра­ди­а­то­ра равна 81 метра.

Ту­рист идет из од­но­го го­ро­да в дру­гой, каж­дый день про­хо­дя боль­ше, чем в преды­ду­щий день, на одно и то же рас­сто­я­ние. Из­вест­но, что за пер­вый день ту­рист про­шел 12 ки­ло­мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров про­шел ту­рист за чет­вер­тый день, если весь путь он про­шел за 10 дней, а рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 255 ки­ло­мет­ров.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке A. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки A.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [–5π; –4π].

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки А и В, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точки В₁ и С₁, при­чем ВВ₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а от­ре­зок АС₁ пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра.

а)  До­ка­жи­те, что угол АВС₁ пря­мой.

б)  Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, если AB  =  21, BB₁  =  13, B₁C₁  =  28.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на три года в раз­ме­ре 700 тысяч руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг будет воз­рас­тать на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  пла­те­жи в 2027 и 2028 годах долж­ны быть рав­ны­ми;

—  к июлю 2029 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что платёж в 2029 году со­ста­вит 549,6 тысяч руб­лей. Най­ди­те сумму всех пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD угол BAC вдвое боль­ше угла CAD. Бис­сек­три­са угла BAC пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BC в точке L. На про­дол­же­нии сто­ро­ны CD за точку D вы­бра­на такая точка E, что AE  =  CE.

а)  До­ка­жи­те, что AL · BC  =  AB · AC.

б)  Най­ди­те EL, если AC  =  24,

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет боль­ше двух раз­лич­ных кор­ней.

Каж­дый из груп­пы уча­щих­ся схо­дил в кино или в театр, при этом воз­мож­но, что кто-то из них мог схо­дить и в кино, и в театр. Из­вест­но, что в те­ат­ре маль­чи­ков было не более  от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших театр, а в кино маль­чи­ков было не более  от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших кино.

а)  Могло ли быть в груп­пе 11 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 24 уча­щих­ся?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков могло быть в груп­пе, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 24 уча­щих­ся?

в)  Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся в груп­пе без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а) и б)?