а)  Пусть от­ре­зок PH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды PABCD, от­ре­зок MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APH (см. рис.).

По­сколь­ку PABCD  — пра­виль­ная пи­ра­ми­да, точка H  — центр квад­ра­та ABCD, зна­чит, и от­ку­да Но сле­до­ва­тель­но, Зна­чит, плос­кость BMN пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BDP по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти плос­ко­стей. Через точки B и M можно про­ве­сти толь­ко одну плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ную BPD, и эта плос­кость яв­ля­ет­ся плос­ко­стью BMN, де­ля­щей вы­со­ту пи­ра­ми­ды по­по­лам. Таким об­ра­зом, утвер­жде­ние за­да­чи до­ка­за­но.

б)  Пря­мая BN  — про­ек­ция пря­мой BM на плос­кость BDP, зна­чит, угол между пря­мой BM и плос­ко­стью BDP равен углу между пря­мой BM и пря­мой BN, то есть остро­му углу MBN пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

При­мем длину ребра дан­ной пи­ра­ми­ды за a, тогда ме­ди­а­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка и, сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

а)  Рас­смот­рим, на­при­мер, пару ребер PA и PC. Ос­но­ва­ние пра­виль­ной пи­ра­ми­ды − квад­рат, по­это­му За­ме­тим, что

по­это­му

б)  Пусть от­ре­зок PH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды PABCD, от­ре­зок MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APH (см. рис.).

По­сколь­ку PABCD  — пра­виль­ная пи­ра­ми­да, точка H  — центр квад­ра­та ABCD, зна­чит, и от­ку­да Но, сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, пря­мая BN  — про­ек­ция пря­мой BM на плос­кость BDP, зна­чит, угол между пря­мой BM и плос­ко­стью BDP равен углу между пря­мой BM и пря­мой BN, то есть остро­му углу MBN пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Ме­ди­а­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка и, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: