Если то урав­не­ние за­да­ет окруж­ность с цен­тром в точке ра­ди­у­са а если то оно задаёт окруж­ность с цен­тром в точке того же ра­ди­у­са (см. рис.).

При по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a урав­не­ние за­даст окруж­ность с цен­тром в точке ра­ди­у­са По­это­му за­да­ча со­сто­ит в том, чтобы найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых окруж­ность имеет един­ствен­ную общую точку с объ­еди­не­ни­ем окруж­но­стей и

Из точки C про­ведём луч и обо­зна­чим и точки его пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью где лежит между C и

Так как то

При или окруж­но­сти и не пе­ре­се­ка­ют­ся. При окруж­но­сти и имеют две общие точки. При или окруж­но­сти и ка­са­ют­ся.

Из точки C про­ведём луч и обо­зна­чим и точки его пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью где лежит между точ­ка­ми C и Так как то

При или окруж­но­сти и не пе­ре­се­ка­ют­ся. При окруж­но­сти и имеют две общие точки. При или окруж­но­сти и ка­са­ют­ся.

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда окруж­ность ка­са­ет­ся ровно одной из двух окруж­но­стей и и не пе­ре­се­ка­ет­ся с дру­гой. Так как то усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют толь­ко числа и

Ответ:

Если то урав­не­ние задаёт окруж­ность с цен­тром в точке ра­ди­у­са 2, а если то оно задаёт окруж­ность с цен­тром в точке того же ра­ди­у­са (см. рис.).

При по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра а урав­не­ние за­да­ет окруж­ность с цен­тром в точке ра­ди­у­са а. По­это­му за­да­ча со­сто­ит в том, чтобы найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых окруж­ность имеет един­ствен­ную общую точку с объ­еди­не­ни­ем окруж­но­стей и

Из точки С про­ведём луч и обо­зна­чим и точки его пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью где лежит между C и Так как то

При или окруж­но­сти и не пе­ре­се­ка­ют­ся. При окруж­но­сти и имеют две общие точки. При или окруж­но­сти и ка­са­ют­ся.

Из точки С про­ведём луч и обо­зна­чим и точки его пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью где лежит между C и Так как то

При или окруж­но­сти и не пе­ре­се­ка­ют­ся. При окруж­но­сти и имеют две общие точки. При или окруж­но­сти и ка­са­ют­ся.

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда окруж­ность ка­са­ет­ся ровно одной из двух окруж­но­стей и и не пе­ре­се­ка­ет­ся с дру­гой. Так как то усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют толь­ко числа и

Ответ: 11,

Если то урав­не­ние задаёт окруж­ность с цен­тром в точке ра­ди­у­са 2, а если то оно задаёт окруж­ность с цен­тром в точке того же ра­ди­у­са (см. рис.).

При по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра а урав­не­ние за­да­ет окруж­ность с цен­тром в точке ра­ди­у­са а. По­это­му за­да­ча со­сто­ит в том, чтобы найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых окруж­ность имеет един­ствен­ную общую точку с объ­еди­не­ни­ем окруж­но­стей и

Из точки С про­ведём луч и обо­зна­чим и точки его пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью где лежит между С и

Так как то

При или окруж­но­сти и не пе­ре­се­ка­ют­ся. При окруж­но­сти и имеют две общие точки. При или окруж­но­сти и ка­са­ют­ся.

Из точки С про­ведём луч и обо­зна­чим и точки его пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью где лежит между С и

Так как то

При или окруж­но­сти и не пе­ре­се­ка­ют­ся. При окруж­но­сти и имеют две общие точки. При или окруж­но­сти и ка­са­ют­ся.

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда окруж­ность ка­са­ет­ся ровно одной из двух окруж­но­стей и и не пе­ре­се­ка­ет­ся с дру­гой. Так как то усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют толь­ко числа и

Ответ: 3;

Пер­вое урав­не­ние задаёт на плос­ко­сти окруж­но­сти и ра­ди­у­са сим­мет­рич­ные от­но­си­тель­но оси ор­ди­нат. Цен­тры этих окруж­но­стей  — точки и Вто­рое урав­не­ние  — урав­не­ние окруж­но­сти ра­ди­у­са с цен­тром

Си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда окруж­ность ка­са­ет­ся одной из окруж­но­стей и но не имеет общих точек с дру­гой окруж­но­стью.

Из точки C про­ведём лучи и и обо­зна­чим точки их пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стя­ми и (см. рис.).

За­ме­тим, что по­это­му и Зна­чит, если то ка­са­ет­ся но не имеет общих точек с Если то ка­са­ет­ся но не имеет общих точек с

Срав­ним и :

По­лу­ча­ем Зна­чит, если ка­са­ет­ся в точке то пе­ре­се­ка­ет в двух точ­ках. Ана­ло­гич­но, если ка­са­ет­ся в точке то пе­ре­се­ка­ет в двух точ­ках. Сле­до­ва­тель­но, дру­гих ре­ше­ний, кроме двух най­ден­ных, си­сте­ма не имеет.

Ответ: или

Если x ≥ 0, то урав­не­ние (|x| − 5)² + (y − 4)² = 9 задаёт окруж­ность ω₁ с цен­тром в точке C₁ (5; 4) ра­ди­у­сом 3, а если x < 0, то оно задаёт окруж­ность ω₂ с цен­тром в точке C₂ (−5; 4) таким же ра­ди­у­сом (см. рис.).

При по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях a урав­не­ние (x + 2)² + y² = a² задаёт окруж­ность ω с цен­тром в точке C (−2; 0) ра­ди­у­сом a. По­это­му за­да­ча со­сто­ит в том, чтобы найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых окруж­ность ω имеет един­ствен­ную общую точку с объ­еди­не­ни­ем окруж­но­стей ω₁ и ω₂.

Из точки C про­ведём луч CC₁ и обо­зна­чим через A₁ и B₁ точки его пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью ω₁, где A₁ лежит между C и C₁. Так как

то

При a < CA₁ или a > CB₁ окруж­но­сти ω и ω₁ не пе­ре­се­ка­ют­ся.

При CA₁ < a < CB₁ окруж­но­сти ω и ω₁ имеют две общие точки.

При a = CA₁ или a = CB₁ окруж­но­сти ω и ω₁ ка­са­ют­ся.

Из точки C про­ведём луч CC₂ и обо­зна­чим через A₂ и B₂ точки его пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью ω₂, где A₂ лежит между C и C₂. Так как

то

При a < CA₂ или a > CB₂ окруж­но­сти ω и ω₂ не пе­ре­се­ка­ют­ся.

При CA₂ < a < CB₂ окруж­но­сти ω и ω₂ имеют две общие точки.

При a = CA₂ или a = CB₂ окруж­но­сти ω и ω₂ ка­са­ют­ся.

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда окруж­ность ω ка­са­ет­ся ровно одной из двух окруж­но­стей ω₁ и ω₂ и не пе­ре­се­ка­ет­ся с дру­гой. Так как CA₂ < CA₁ < CB₂ < CB₁, то усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют толь­ко числа

Ответ: