В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D — середина ребра CC1.
а) Докажите, что плоскость 
делит объем призмы пополам.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
а) Заметим, что плоскость делит призму на две четырехугольные пирамиды: 
и 
Основания этих пирамид − равные прямоугольные трапеции, а высоты равны высоте равностороннего треугольника ABC, поэтому они тоже равны. Следовательно, равны и объемы этих пирамид. Что и требовалось доказать.
б) Прямая 
пересекает прямую BC в точке 
Плоскости ABC и пересекаются по прямой 
Из точки D опустим перпендикуляр DH на прямую AK, тогда отрезок CH (проекция DH), по теореме о трех перпендикулярах, перпендикулярен прямой Угол CHD является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и 
Точка D — середина ребра 
поэтому 
Из равенства треугольников 
и KCD получаем: 
В равнобедренном треугольнике ACK угол C равен 
высота CH является высотой и биссектрисой, откуда 
Из прямоугольного треугольника CDH с прямым углом C получаем:
тогда 
Ответ: 
Замечание: Ответ может быть представлен и в другой форме: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной призме 
стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4, точка D — середина ребра 
а) Докажите, что плоскость делит объем призмы пополам.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и
а) Заметим, что плоскость
делит призму на две четырехугольные пирамиды: и Основания этих пирамид — равные прямоугольные трапеции, а высоты равны высоте равностороннего треугольника ABC, поэтому они тоже равны. Следовательно, равны и объемы этих пирамид. Что и требовалось доказать.
б) Прямая пересекает прямую BC в точке Плоскости ABC и пересекаются по прямой Из точки D опустим перпендикуляр DH на прямую AK, тогда отрезок CH (проекция DH), по теореме о трех перпендикулярах, перпендикулярен прямой Угол CHD является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и
Точка D — середина ребра поэтому 
Из равенства треугольников 
и KCD получаем: 
В треугольнике ACK имеем 
следовательно, треугольник равнобедренный, 
высота CH является высотой и биссектрисой, откуда 
Из прямоугольного треугольника CDH с прямым углом C получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина ребра CC1.
а) Докажите, что плоскость 
делит объем призмы пополам.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
а) Заметим, что плоскость ADB_1 делит призму на две четырехугольные пирамиды: и Основания этих пирамид − равные прямоугольные трапеции, а высоты равны высоте равностороннего треугольника ABC, поэтому они тоже равны. Следовательно, равны и объемы этих пирамид. Что и требовалось доказать.
б) Прямая пересекает прямую BC в точке Плоскости ABC и пересекаются по прямой Из точки D опустим перпендикуляр DH на прямую AK, тогда отрезок CH (проекция DH) перпендикулярен прямой Угол CHD является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и
Точка D — середина ребра поэтому 
Из равенства треугольников и KCD получаем:
В равнобедренном треугольнике ACK угол C равен 
высота CH является биссектрисой, откуда
Из прямоугольного треугольника CDH с прямым углом C получаем:
тогда 
Ответ может быть представлен и в другой форме: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Наверх