ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 500897 Добавить в вариант

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $7 тангенс в квадрате x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 1=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Решим уравнение

$7 тангенс в квадрате x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 1=0 равносильно 7 умножить на дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 1=0 равносильно$

$равносильно система выражений 6 косинус в квадрате x плюс косинус x минус 7=0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений косинус x=1, косинус x = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби конец совокупности . равносильно косинус x=1 равносильно x=2 Пи k, k принадлежит Z .$ $равносильно система выражений 6 косинус в квадрате x плюс косинус x минус 7=0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений косинус x=1, косинус x = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус x=1 равносильно x=2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Найдем корни, лежащие в заданном отрезке, решая двойное неравенство:

$минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 2 Пи k меньше или равно минус Пи равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно k \leqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно k= минус 1.$

Тогда искомый корень $минус 2 Пи .$

Примечание.

Отобрать корни можно, используя тригонометрическую окружность (см. рис.).

Ответ: а) $левая фигурная скобка 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи .$

-------------
Дублирует задание № 500637.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 500897: 511348 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Видеокурс · Помощь

Тип 13 № 511348 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна. Вариант 801

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $2 тангенс в квадрате x плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 4=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус Пи , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Запишем уравнение в виде $дробь: числитель: 2, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 2=0.$ Решив последнее уравнение как квадратное относительно $дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби ,$ получим $дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби = минус 2$ или $дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Значит, $косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z ,$ или $косинус x= минус 2,$ что невозможно.

б)  Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус Пи , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка :$ это $\q x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: а) $\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Аналоги к заданию № 500897: 511348 Все

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна. Вариант 801

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе