а)  По­сле­до­ва­тель­ность не может со­сто­ять из двух чле­нов, так как урав­не­ния x+(x+10)=257, x+6x=257 не­раз­ре­ши­мы в целых чис­лах. По­сле­до­ва­тель­ность может со­сто­ять из трёх чле­нов, на­при­мер, так: 19+114+124=257.

б)  Сумма двух со­сед­них чисел равна ми­ни­мум 7; по­сколь­ку 257=36·7+5, будет самое боль­шее 36 пар и еще одно число. Но сумма может быть равна 7 толь­ко для пары 1+6, а если все пары такие, то до­ба­вить к ним число 5 нель­зя. А для осталь­ных пар сумма равна ми­ни­мум 12. По­это­му на самом деле 73 числа обес­пе­чить нель­зя, а 72 числа можно в си­ту­а­ции 1, 6, 1, 6, 1, 6, ..., 1, 6, 1, 11 ( пара 1,6 по­вто­ря­ет­ся 35 раз).

Ответ: а) 3; б) 72.

а)  По­сле­до­ва­тель­ность не может со­сто­ять из двух чле­нов, так как урав­не­ния x + (x + 12) = 437, x +8x = 437 не­раз­ре­ши­мы в целых чис­лах.

По­сле­до­ва­тель­ность может со­сто­ять из трёх чле­нов, на­при­мер, так: 25 + 200 + 212 = 437.

б)  Сумма двух со­сед­них чисел равна как ми­ни­мум 9; по­сколь­ку 437 = 48 · 9 + 5, будет самое боль­шее 48 пар и ещё одно число. Но сумма может быть равна 9 толь­ко для пары 1 + 8, а если все пары такие, то до­ба­вить к ним число 5 нель­зя. А для осталь­ных пар сумма равна как ми­ни­мум 14. По­это­му на самом деле 97 чисел обес­пе­чить нель­зя, а 96 чисел можно в си­ту­а­ции 1, 8, 1, 8, 1, 8, ..., 1, 8, 1, 13 (пара 1, 8 по­вто­ря­ет­ся 47 раз).

Ответ: а) 3; б) 96.

а)  По­сле­до­ва­тель­ность не может со­сто­ять из двух чле­нов, так как урав­не­ния x + (x + 10) = 257, x + 7x = 163 не­раз­ре­ши­мы в целых чис­лах. По­сле­до­ва­тель­ность может со­сто­ять из трёх чле­нов, на­при­мер, так: 27 + 17 + 119 = 163.

б)  Сумма двух со­сед­них чисел равна ми­ни­мум 8; по­сколь­ку 163=20 · 8 + 3, будет самое боль­шее 20 пар и еще одно число. Но сумма может быть равна 8 толь­ко для пары 1 + 7, а если все пары такие, то до­ба­вить к ним число 3 нель­зя. А для осталь­ных пар сумма равна ми­ни­мум 12. По­это­му на самом деле 41 число обес­пе­чить нель­зя, и 40 чисел тоже, так как наи­мень­шая сумма 40 чисел  — 164: 1 + 7 + 1 + 7 + ... + 1 + 7 + 1 + 11 = 164. По­ка­жем, что 39 чисел обес­пе­чить можно: 7 + 1 + 7 + 1 + ... + 7 + 1 + 11 = 163 (пара 7, 1 по­вто­ря­ет­ся 19 раз)

Ответ: а) 3; б) 39.