В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 построена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
через точку К проведем прямую параллельно 
Пусть эта прямая пересекает диагональ 
в точке L. В плоскости основания 
проведем прямую 
пусть она пересекает сторону 
в точке P. Треугольник KPC1 — сечение, проходящее через точки К и С1 параллельно прямой BD1. Действительно, прямая BD1 параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL. 
и 
поэтому 
Тогда 
Что и требовалось доказать.
прямоугольного треугольника 
— является проекцией наклонной PN на плоскость 
Тогда угол PNB1 — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:
Откуда имеем: a = 1, b = 3, c = 4. Получаем уравнение плоскости: x + 3y + 4z + d = 0. Определим теперь коэффициент d, для этого подставим в это уравнение координаты точки C1:
Координаты вектора нормали к плоскости 
Обозначим угол между плоскостями 
и 
как 
Найдём косинус угла между плоскостями 
и 
Может также быть получен ответ и через арктангенс: 
Уравнение плоскости сечения C1PK в отрезках 
Нормальный вектор к этой плоскости: 
нормальный вектор к плоскости BB1C1C: 
Тогда
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 7. На его ребре BB1 отмечена точка K так. что KB = 4. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 3, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2. На ребре BB1 отмечена точка K так, что 
Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что 
где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол между плоскостями α и BB1C1.
В прямоугольном треугольнике B1C1K имеем 
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 3. На ребре BB1 отмечена точка K так, что 
Через точки K и C1 проведена плоскость 
параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что 
где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол между плоскостями α и BB1C1.
В прямоугольном треугольнике B1C1K имеем 
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 3. На ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 2. Через точки K и С1 проведена плоскость параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что плоскость 
проходит через середину ребра A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1С.
поэтому 
Тогда 
