Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
и 
Значения этих сторон удовлетворяют равенству 
следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SA ⊥ AB.
Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству 
то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.
Кроме того, 
следовательно, 
Таким образом, проекцией SC на плоскость SAB будет прямая SB. Значит, нужно найти угол между прямыми SC и SB, то есть угол φ = ∠CSB.
Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
2
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
поэтому треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB и прямым углом SAB. Аналогично, из равенства 
получаем, что 
Так как прямая SA перпендикулярная прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости ABD.
и 
3
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 5 и BC = 12. Длины боковых рёбер пирамиды 
SB = 9, 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
и 
поэтому стороны SA и AB, SA и AD попарно перпендикулярны. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости ребро SA перпендикулярно плоскости ABC: SA ⊥ AB и SA ⊥ AD, а потому SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.
Применим теорему косинусов для треугольника BOK:
