ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 514522 Добавить в вариант

Источники:

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016;

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 512 (часть 2);

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна.

Методы геометрии: Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Подобие

Планиметрическая задача. Вписанные окружности и четырехугольники

Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.

а)  Докажите, что $CK умножить на CE=AB умножить на CD.$

б)  Найдите отношение CK и KE, если $\angle ECD=15 градусов.$

Решение.

а)  В треугольниках CKD и CDE угол KCD  — общий,

$\angle CED = \angle CBD = \angle BDC=45 градусов.$

Значит, эти треугольники подобны, откуда

$дробь: числитель: CK, знаменатель: CD конец дроби = дробь: числитель: CD, знаменатель: CE конец дроби равносильно CK умножить на CE=CD в квадрате равносильно CK умножить на CE= AB умножить на CD.$

б)  В треугольнике CKD имеем: $\angle KCD=15 градусов,$ $\angle CDK=45 градусов,$ откуда $\angle CKD=120 градусов.$ Из подобия треугольников CKD и CDE получаем, что $дробь: числитель: CD, знаменатель: CE конец дроби = дробь: числитель: CK, знаменатель: CD конец дроби .$ В треугольнике CKD имеем:

$дробь: числитель: CK, знаменатель: CD конец дроби = дробь: числитель: синус 45 градусов, знаменатель: синус 120 градусов конец дроби = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ,$

то есть

$CK:CE= дробь: числитель: CK, знаменатель: CD конец дроби : дробь: числитель: CE, знаменатель: CD конец дроби = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента : корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента =2:3,$

откуда CK : KE = 2 : 1.

Ответ: б) 2 : 1.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 2 : 1.

Аналоги к заданию № 514522: 514557 Все

Источники:

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016;

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 512 (часть 2);

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Видеокурс · Помощь

Тип 17 № 514557 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 509 (часть 2)

Методы геометрии: Теорема синусов

Планиметрическая задача. Вписанные окружности и четырехугольники

Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.

а)  Докажите, что $CK умножить на CE=BC умножить на AD.$

б)  Найдите отношение CE : KE, если $\angle ECD=75 градусов.$

Решение.

а)  В треугольниках CKD и CDE угол KCD  — общий,

$\angle CED = \angle CBD = \angle BDC=45 градусов.$

Значит, эти треугольники подобны, откуда

$дробь: числитель: CK, знаменатель: CD конец дроби = дробь: числитель: CD, знаменатель: CE конец дроби равносильно CK умножить на CE=CD в квадрате равносильно$

$равносильно CK умножить на CE= BC умножить на AD.$

б)  В треугольнике CKD имеем: $\angle KCD=75 градусов,$ $\angle CDK=45 градусов,$ откуда $\angle CKD=60 градусов.$ Из подобия треугольников CKD и CDE получаем:

$дробь: числитель: CD, знаменатель: CE конец дроби = дробь: числитель: CK, знаменатель: CD конец дроби .$

В треугольнике CKD из теоремы синусов для треугольника CDE имеем:

$дробь: числитель: CK, знаменатель: CD конец дроби = дробь: числитель: синус 45 градусов, знаменатель: синус 60 градусов конец дроби = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ,$

то есть $CK:CE= дробь: числитель: CK, знаменатель: CD конец дроби : дробь: числитель: CE, знаменатель: CD конец дроби = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента : корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента =2:3,$ откуда CE : KE = 3 : 1.

Ответ: б) 3 : 1.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 3 : 1.

Аналоги к заданию № 514522: 514557 Все

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 509 (часть 2)

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе