Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Уравнение 
означает, что сумма расстояний от точки 
до точек 
и 
равна 
но эта сумма расстояний всегда больше, чем если только точка не лежит на отрезке с концами и 
Значит, множество решений при 
— это отрезок с концами и При 
множество решений — это 
Множество решений неравенства 
— круг на плоскости с координатами с центром в начале координат и радиусом 
Отсюда получаем необходимое условие существование единственного решения — отрезок с концами и должен пересекаться с данным кругом в единственной точке. Это возможно при (когда отрезок превращается в точку), а также когда отрезок касается границы круга. Из симметрии точка касания лежит в середине этого отрезка. Расстояние от середины отрезка до начала координат равно 
В случае касания это расстояние должно совпадать с радиусом круга, откуда получаем уравнение 
Таким образом, система имеет единственное решение при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получены все значения  , но ответ содержит лишнее значение. | 3 |
| Начато верное рассуждение и даже получено одно какое-нибудь значение параметра, но до конца задача не доведена. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Уравнение означает, что сумма расстояний от точки до точек и равна но эта сумма расстояний всегда больше, чем если только точка не лежит на отрезке с концами и Значит, множество решений при — это отрезок с концами и При множество решений — это
Множество решений неравенства 
— круг на плоскости с координатами с центром в начале координат и радиусом 
Отсюда получаем необходимое условие существование единственного решения — отрезок с концами и должен пересекаться с данным кругом в единственной точке. Это возможно при (когда отрезок превращается в точку), а также когда отрезок касается границы круга. Из симметрии точка касания лежит в середине этого отрезка. Расстояние от середины отрезка до начала координат равно В случае касания это расстояние должно совпадать с радиусом круга, откуда получаем уравнение 
Таким образом, система имеет единственное решение при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения , но ответ содержит лишнее значение. | 3 |
| Начато верное рассуждение и даже получено одно какое-нибудь значение параметра, но до конца задача не доведена. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх