а)  Для вы­пол­не­ния усло­вий за­да­чи до­ста­точ­но, чтобы про­из­ве­де­ние двух мень­ших чисел было боль­ше 40, а про­из­ве­де­ние двух боль­ших чисел было мень­ше 100. Пять чисел 6, 7, 8, 9, 10 удо­вле­тво­ря­ют усло­вию за­да­чи.

б)  Пусть числа на доске за­пи­са­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния: a < b < c < d < e < f. За­ме­тим, что иначе про­из­ве­де­ние ab будет мень­ше 40, а про­из­ве­де­ние ef будет боль­ше 100. Дру­ги­ми сло­ва­ми, на доске может быть толь­ко одно число a  <  7 и толь­ко одно число f  >  9. Но тогда че­тырь­мя раз­лич­ны­ми чис­ла­ми b, c, d, e долж­ны быть три числа 7, 8 и 9, что не­воз­мож­но.

в)  Пусть на доске на­пи­са­ны числа a, b, c и d, причём a < b < c < d. Как было по­ка­за­но в преды­ду­щем пунк­те, со­сед­ние с край­ни­ми числа под­чи­ня­ют­ся усло­вию Сумма че­ты­рех чисел наи­боль­шая, когда каж­дое сла­га­е­мое при­ни­ма­ет наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние. Наи­боль­шее воз­мож­ное про­из­ве­де­ние по­это­му Тогда наи­боль­шее зна­че­ние суммы че­ты­рех чисел равно 35.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  35.

При­ме­ча­ние.

В пунк­те в) можно было про­ве­сти пе­ре­бор.

Если за­пи­са­ны числа а, 7, 8, d, то наи­боль­шие воз­мож­ные числа a  =  6, d  =  12. Сумма че­ты­рех за­пи­сан­ных чисел равна 33.

Если за­пи­са­ны числа а, 7, 9, d, то a  =  6, d  =  11, сумма 33.

Если за­пи­са­ны числа а, 8, 9, d, то a  =  7, d  =  11, сумма 35.

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние суммы че­ты­рех чисел равно 35.

а)  Для вы­пол­не­ния усло­вий за­да­чи до­ста­точ­но, чтобы про­из­ве­де­ние двух мень­ших чисел было боль­ше 45, а про­из­ве­де­ние двух боль­ших чисел было мень­ше 120. Пять чисел 7, 8, 9, 10, 11 удо­вле­тво­ря­ют усло­вию за­да­чи.

б)  Пусть числа на доске за­пи­са­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния: a < b < c < d < e < f . За­ме­тим, что иначе про­из­ве­де­ние ab будет мень­ше 45, а про­из­ве­де­ние ef будет боль­ше 120. Дру­ги­ми сло­ва­ми, на доске может быть толь­ко одно число a < 8 и толь­ко одно число f > 10. Но тогда че­тырь­мя раз­лич­ны­ми чис­ла­ми b, c, d, e долж­ны быть три числа 8, 9 и 10, что не­воз­мож­но.

в)  Пусть на доске на­пи­са­ны числа a, b, c и d, причём a < b < c < d. Как было по­ка­за­но в преды­ду­щем пунк­те, со­сед­ние с край­ни­ми числа под­чи­ня­ют­ся усло­вию Сумма че­ты­рех чисел наи­мень­шая, когда каж­дое сла­га­е­мое при­ни­ма­ет наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние. Наи­мень­шее воз­мож­ное про­из­ве­де­ние по­это­му Тогда наи­мень­шее зна­че­ние суммы че­ты­рех чисел равно 33.

Ответ: а) да; б) нет; в) 33.