Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Первое уравнение системы равносильно уравнению 
Это уравнение задает окружность ω радиусом 1 с центром в точке 
Второе уравнение системы задает пару прямых 
и 
пересекающихся в точке 
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда окружность ω пересекается с каждой из прямых и в двух точках и не проходит через точку их пересечения
Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения
Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
Число точек пересечения окружности с прямой 
равно числу корней квадратного уравнения
Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
Окружность проходит через точку 
при 
то есть при 
и 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения при
Ответы:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся включением/исключением точек  и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получен промежуток  или возможно, с включением граничных точек и/или одной из точек a = −1 или a = −0,6.ИЛИ Верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a из-за вычислительной ошибки | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен один из промежутков  ИЛИ Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
При a = 1 первое уравнение системы задаёт прямую 
а при 
пару параллельных прямых l1 и l2, заданных уравнениями 
и 
соответственно.
Второе уравнение системы задает окружность ω радиусом 3 с центром в точке (0; 0).
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения, когда и окружность ω пересекается с каждой из прямых l1 и l2 в двух точках.
Число точек пересечения окружности ω с прямой l1 равно числу корней квадратного уравнения:
Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
Число точек пересечения окружности ω с прямой l2 равно числу корней квадратного уравнения:
Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения
при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек    и/или  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  , но неверно определены промежутки значений a.ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток  или два промежутка  и  , возможно, с включением граничных точек.ИЛИ Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Первое уравнение системы равносильно уравнению 
Это уравнение задает окружность ω радиусом 3 с центром в точке 
Второе уравнение системы задает пару прямых и пересекающихся в точке
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда окружность ω пересекается с каждой из прямых и в двух точках и не проходит через точку их пересечения
Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения
Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
Число точек пересечения окружности с прямой равно числу корней квадратного уравнения
Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
Окружность проходит через точку при 
то есть при 
и 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения при:
Ответы:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся включением/исключением точек  и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получен промежуток  , возможно, с включением граничных точек и/или одной из точек a = 0 или a = 1,2ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений a из-за вычислительной ошибки | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен один из промежутков  ИЛИ задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
При a = 1 первое уравнение системы задаёт прямую 
а при пару параллельных прямых l1 и l1, заданных уравнениями 
и 
соответственно.
Второе уравнение системы задает окружность ω радиусом 4 с центром в точке (0; 0).
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения, когда и окружность ω пересекается с каждой из прямых l1 и l1 в двух точках.
Число точек пересечения окружности ω с прямой l1 равно числу корней квадратного уравнения:
Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
Число точек пересечения окружности ω с прямой l2 равно числу корней квадратного уравнения:
Это уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек  ,  ,  и/или 
| 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  , но неверно определены промежутки значений aИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток  или два промежутка  и  , возможно, с включением граничных точекИЛИ задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх