a)  Рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорд оди­на­ко­вой длины равны. Сле­до­ва­тель­но, точка O рав­но­уда­ле­на от пря­мых AB, BC, CD и AD. Зна­чит, она лежит на бис­сек­три­се каж­до­го из углов тра­пе­ции.

б)  Опу­стим из точки O пер­пен­ди­ку­ля­ры OU, OV и OW на сто­ро­ны AD, AB и BC со­от­вет­ствен­но. Тогда UW  — вы­со­та тра­пе­ции, а точка V  — се­ре­ди­на от­рез­ка KL. Зна­чит,

Пусть BH  — вы­со­та тра­пе­ции. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH имеем:

При­ве­дем ре­ше­ние Мак­си­ма Вол­ко­ва.

Опу­стим из точки O пер­пен­ди­ку­ля­ры OU, OV и OW на сто­ро­ны AD, AB и BC со­от­вет­ствен­но. Тогда UW  — вы­со­та тра­пе­ции, а точка V  — се­ре­ди­на от­рез­ка KL. Тогда

Про­ве­дем от­рез­ки АО и ОВ. За­ме­тим, что тре­уголь­ник AOB пря­мо­уголь­ный, так как АО и ВО  — бис­сек­три­сы углов тра­пе­ции при бо­ко­вой сто­ро­не. Тогда по свой­ству вы­со­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Сле­до­ва­тель­но, для вы­со­ты тра­пе­ции по­лу­ча­ем:

Ответ: б) 24

a)  Рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорд оди­на­ко­вой длины равны. Сле­до­ва­тель­но, точка O рав­но­уда­ле­на от пря­мых AB, BC, CD и AD. Зна­чит, она лежит на бис­сек­три­се каж­до­го из углов тра­пе­ции.

б)  Опу­стим из точки O пер­пен­ди­ку­ля­ры OU, OV и OW на сто­ро­ны AD, AB и BC со­от­вет­ствен­но. Тогда UW  — вы­со­та тра­пе­ции, а точка V  — се­ре­ди­на от­рез­ка KL. Зна­чит,

Пусть BH  — вы­со­та тра­пе­ции. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH имеем:

Ответ: б) 24.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Ва­лен­ти­на Ев­ста­фье­ва (Санкт-Пе­тер­бург).

В пунк­те а) до­ка­за­но, что АО и ВО  — бис­сек­три­сы углов А и В. Сумма углов А и В равна 180°. Сле­до­ва­тель­но, по­лу­сум­ма этих углов равна 90°, а по­то­му тре­уголь­ник ВОА  — пря­мо­уголь­ный. От­ре­зок OV яв­ля­ет­ся вы­со­той этого тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе. Зна­чит, Точка V яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем пер­пен­ди­ку­ля­ра, про­ве­ден­но­го из цен­тра окруж­но­сти к хорде, по­это­му V  — се­ре­ди­на от­рез­ка KL. Сле­до­ва­тель­но, AV  =  18, VB  =  8, OV  =  12. При этом OV  — по­ло­ви­на ис­ко­мой вы­со­ты. Таким об­ра­зом, вы­со­та тра­пе­ции равна 24.