Тип 18 № 520949 
Задача с параметром. Аналитическое решение систем
i
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. Исходная система равносильна системе уравнений:
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда биквадратное уравнение
имеет ровно четыре различных корня. Это выполняется, когда квадратное уравнение
имеет ровно два положительных корня.
Чтобы полученное квадратное уравнение имело два корня, его дискриминант должен быть положительным:
откуда
Чтобы корни полученного квадратного уравнения были одного знака, свободный член этого уравнения должен быть положительным:
откуда
Чтобы корни квадратного уравнения были положительными, коэффициент при t должен быть отрицательным, то есть 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения
при 
и 
Ответ: 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек    и/или  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  но неверно определены промежутки значений a ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток  или два промежутка  и  , возможно, с включением граничных точек ИЛИ задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Ответ: 
и 
и/или 
но неверно определены промежутки значений a.
или два промежутка 
и 
, возможно, с включением граничных точек.