Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Начнём решение с рассмотрения случая, когда 
Тогда первая строчка системы выглядит как 
а вся система имеет ровно два различных решения. Значит, 
Из второй строчки системы следует, что 
или 
Подставим поочередно оба этих значения в первую строчку системы и решим квадратное уравнение относительно x.
1. При 
Дискриминант данного уравнения должен быть строго больше 0 для получения двух корней у уравнения-следствия и четырёх корней у исходной системы.
Откуда 
То есть, уравнение-следствие имеет два корня при 
2. При 
Аналогично 
откуда 
То есть уравнение-следствие имеет два корня при 
Проверим, чтобы корни не совпадали. Для этого приравняем уравнения-следствия из пунктов 1 и 2.
Теперь пересечем пункты 1 и 2, исключим 
и получим ответ: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Из второго уравнения следует, что 
Рассмотрим два случая, подставив значение y в первое уравнение системы.
1) Если 
имеем:
Если 
то 
Если 
имеем квадратное уравнение относительно x. Требуем положительности его дискриминанта для поолучения 2 различных корней:
2) Если 
имеем:
Если то 
Если имеем квадратное уравнение относительно x. Требуем положительности его дискриминанта для поолучения 2 различных корней:
Также важно проверить, чтобы корни уравнений из первого и второго случая не совпадали:
Тогда 
Пересекая полученные открытые лучи из первого и второго случая получаем итоговый ответ:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек    и/или  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  но неверно определены промежутки значений aИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток  или два промежутка  и  , возможно, с включением граничных точекИЛИ задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх