Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
Преобразуем уравнение
Положим, 
Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке 
тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен 
имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу 
либо имеет единственный корень на отрезке 
равный 0 или 2, либо квадратный трёхчлен принимает при 
и 
ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при 
или, что то же самое, при 
При таком значении a уравнение 
имеет единственный корень 
он принадлежит отрезку 
Рассмотрим второй случай. Имеем 
и 
Значит, 
при 
При таком значении a уравнение имеет два решения и 
на отрезке Аналогично 
при 
При таком значении a уравнение имеет единственное решение на отрезке
Рассмотрим третий случай. Значения и 
имеют разные знаки тогда и только тогда, когда 
или, что то же самое, при 
Следовательно, уравнение 
имеет единственное решение на отрезке тогда и только тогда, когда 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
Уравнение 
равносильно уравнениям 
и 
Положим 
Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу либо имеет единственный корень на отрезке равный 0 или 2, либо квадратный трёхчлен принимает при и ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при 
или, что то же самое, при 
При таком значении a уравнение 
имеет единственный корень 
он принадлежит отрезку
Рассмотрим второй случай. Имеем и 
Значит, при При таком значении a уравнение имеет два решения и 
на отрезке Аналогично при 
При таком значении a уравнение имеет единственное решение на отрезке
Рассмотрим третий случай. Значения и 
имеют разные знаки тогда и только тогда, когда 
или, что то же самое, при 
Следовательно, уравнение имеет единственное решение на отрезке тогда и только тогда, когда 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх