а)  Пусть a  — пер­вое число. По­ста­ра­ем­ся найти це­поч­ку вида:

Для за­цик­ли­ва­ния тре­бу­ет­ся, чтобы Это урав­не­ние имеет на­ту­раль­ное ре­ше­ние: Дей­стви­тель­но, имеем це­поч­ку, со­сто­я­щую из пяти чисел:

б)  По усло­вию или или Но   — не­чет­ное число, по­это­му есть ровно одна воз­мож­ность:   — снова не­чет­ное число, по­это­му для снова ровно одна воз­мож­ность. Так вся­кий раз будут по­лу­чать­ся не­чет­ные числа, по­сколь­ку сумма не­чет­но­го и чет­но­го чисел яв­ля­ет­ся не­чет­ным чис­лом. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­ча­ем:

в)  За­ме­тим, что це­поч­ка удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям. До­ка­жем, что наи­боль­ший член по­сле­до­ва­тель­но­сти не может быть мень­ше 112.

Пусть a  — наи­боль­ший член по­сле­до­ва­тель­но­сти (на­чи­ная с мо­мен­та, когда впер­вые про­изо­шло умно­же­ние на 2; за­ме­тим, что в нашем слу­чае 98 не может вы­чи­тать­ся два­жды под­ряд). Тогда преды­ду­щее число  — это Сле­до­ва­тель­но, a  — чет­ное.

Ясно, что зна­че­ние 98 и мень­ше a быть не может, так как это бы озна­ча­ло, что в нашей це­поч­ке, на­чи­ная с пер­во­го умно­же­ния на 2, ни разу не вы­чи­та­лось 98. Сле­до­ва­тель­но, с этого мо­мен­та были толь­ко умно­же­ния на 2. Но тогда, оче­вид­но, на­шел­ся бы член по­сле­до­ва­тель­но­сти, ко­то­рый боль­ше 112. По­это­му до­ста­точ­но рас­смот­реть слу­чаи, когда a равно 110, 108, 106, 104, 102, 100.

Пе­ре­бе­рем эти зна­че­ния. Рас­смот­рим мо­мент, когда a по­явил­ся впер­вые (оче­вид­но, номер этого члена по­сле­до­ва­тель­но­сти за­ве­до­мо не пре­взой­дет, на­при­мер, 10). В слу­чае зна­че­ний a, рав­ных 100, 102, 106, после вы­чи­та­ния 98 (на сле­ду­ю­щем шаге), мы по­па­дем в эле­мент це­поч­ки

и най­дет­ся член, ко­то­рый пре­взой­дет 112 (и будет равен по край­ней мере 128).

Зна­че­ния a, рав­ные 104 и 110, при­ве­дут нас в эле­мент це­поч­ки

Зна­че­ние при­ве­дет нас к це­поч­ке

и вновь най­дет­ся член, ко­то­рый пре­взой­дет 112 (и будет равен по край­ней мере 160).

Ответ: а)  да; б)  9777; в)  112.

При­ме­ча­ние.

Как можно было до­га­дать­ся, что в пунк­те в) це­поч­ку надо на­чи­нать с 7 (или 14)? Кста­ти, эта це­поч­ка под­хо­дит и для пунк­та а). Дело в том, что в ре­зуль­та­те наших опе­ра­ций об­ра­зу­ют­ся числа вида где m − не­чет­ное число. Это число долж­но быть боль­ше 98, но не силь­но. Можно пе­ре­брать ма­лень­кие зна­че­ния k и по­до­брать m как раз с этим усло­ви­ем ( боль­ше 98, но не силь­но). Так мы до­воль­но быст­ро по­лу­ча­ем число ко­то­рое хо­ро­шо тем, что при вы­чи­та­нии 98 дает 14. Это хо­ро­шее число, по­то­му что и после не­сколь­ких умно­же­ний на 2 мы вновь по­па­дем в 112. (На­при­мер, 6 − это да­ле­ко не такое хо­ро­шее число, хоть оно и мень­ше 14, т. к. после серии умно­же­ний 6 на 2, наи­мень­шее число, ко­то­рое будет боль­ше 98, это 192.)

Можно было также ду­мать: Сле­до­ва­тель­но, если на­чать с 14, то через три опе­ра­ции мы по­лу­чим И при вы­чи­та­нии 98 мы по­лу­чим т. е. снова 14, а это для нас очень хо­ро­шо!

а)  На­при­мер, по­сле­до­ва­тель­ность 270, 360, 180, 90, 180, 90, ... удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи и об­ра­зо­ва­на ровно че­тырь­мя раз­лич­ны­ми чис­ла­ми.

б)  За­ме­тим, что если в по­сле­до­ва­тель­но­сти при­сут­ству­ет нечётное число, то сле­ду­ю­щее за ним долж­но быть на 90 боль­ше. Таким об­ра­зом, если а₁  =  89, то все числа в по­сле­до­ва­тель­но­сти нечётные и

в)  По­сле­до­ва­тель­ность 96, 48, 24, 12, 6, 96, 48, 24, 12, 6, ... удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи, а самое боль­шое число в ней равно 96.

По­ка­жем, что самое боль­шое число в по­сле­до­ва­тель­но­сти, удо­вле­тво­ря­ю­щей усло­ви­ям за­да­чи, не может быть мень­ше 96. Пред­по­ло­жим, что все числа в по­сле­до­ва­тель­но­сти мень­ше 96. За­ме­тим, что если при­ба­вить 90 к числу, не мень­ше­му 6, то по­лу­чит­ся число, не мень­шее 96. Таким об­ра­зом, в по­сле­до­ва­тель­но­сти после каж­до­го числа а, не мень­ше­го 6, сле­ду­ет число

Пред­по­ло­жим, что a_i нечётное. Тогда Сле­до­ва­тель­но, при число a_i чётное.

Рас­смот­рим наи­мень­шее k, для ко­то­ро­го За­ме­тим, что по­сколь­ку Раз­берём слу­чаи раз­лич­ных зна­че­ний a_k. По­сколь­ку будем рас­смат­ри­вать толь­ко слу­чаи, когда числа чётные.

Если по­лу­ча­ем То есть в этом слу­чае в по­сле­до­ва­тель­но­сти найдётся число, боль­шее 96.

Если то что было разо­бра­но ранее, или по­лу­ча­ем То есть в этом слу­чае в по­сле­до­ва­тель­но­сти найдётся число, боль­шее 96.

Таким об­ра­зом, самое боль­шое число в по­сле­до­ва­тель­но­сти не может быть мень­ше 96.

Ответ: а) да; б) 8999; в) 96.

Будем го­во­рить, что каж­дый сле­ду­ю­щий член по­лу­ча­ет­ся из преды­ду­ще­го де­ле­ни­ем на 2 или уве­ли­че­ни­ем на 150.

а)  Да, на­при­мер, 2400, 1200, 600, 300, 150, 300, 150, 300, ...

б)  Оче­вид­но, что если какой-то член про­грес­сии не­че­тен, то его нель­зя по­де­лить на 2. Тогда при­дет­ся для по­лу­че­ния сле­ду­ю­ще­го члена при­ба­вить 150, и он тоже будет не­че­тен. Сле­до­ва­тель­но? при не­чет­ном пер­вом члене все сле­ду­ю­щие члены будут не­чет­ны и по­сле­до­ва­тель­ность ста­нет ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей с общим чле­ном

в)  Сразу ясно, что по­сле­до­ва­тель­ность 160, 80, 40, 20, 10, 160, ... удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи и имеет наи­боль­ший член 160, по­это­му по­сле­до­ва­тель­но­сти, в ко­то­рых по­па­да­ют­ся члены, боль­шие 160, рас­смат­ри­вать не имеет смыс­ла.

Если пер­вый член про­грес­сии не пре­вос­хо­дит 160, то по­де­лить на 2 удаст­ся не более 8 раз. Зна­чит, в пер­вых де­ся­ти чле­нах точно слу­чит­ся уве­ли­че­ние на 150. Если после этого по­лу­чит­ся не­чет­ное число, то даль­ше при­дет­ся толь­ко при­бав­лять 150, и самое боль­шое число будет не мень­ше, чем

Те­перь раз­бе­рем слу­чаи, на­чи­ная с пер­во­го при­бав­ле­ния 150. При­бав­лять 150 два­жды под­ряд нель­зя, по­сколь­ку ре­зуль­тат будет боль­ше 300. Итак:

Тем самым любое чет­ное число от 152 до 158 при­во­дит к числу, боль­ше­му 160. Зна­чит, 160 и есть ответ.

Ответ: а) да, б) 14 925, в) 160.