а)  Пусть плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро SB в точке N. По­сколь­ку плос­кость α па­рал­лель­на ребру SA, она пе­ре­се­ка­ет грань SBA по пря­мой, па­рал­лель­ной SA. Таким об­ра­зом, пря­мые KN и SA па­рал­лель­ны, тре­уголь­ни­ки NBK и SBA по­доб­ны, а что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ребро АС в точке L. Ана­ло­гич­но пунк­ту а) из по­до­бия тре­уголь­ни­ков MCL и SCA на­хо­дим, что Из ра­вен­ства сле­ду­ет, что LK и CB па­рал­лель­ны.

Про­ведём SH и АH, и пусть плос­кость SHА пе­ре­се­ка­ет α по пря­мой QR (см. рис.), при­чем QR || SA, по­сколь­ку плос­кость α па­рал­лель­на SA.

Про­ве­дем в плос­ко­сти SHА пер­пен­ди­ку­ляр RP к пря­мой SA. Пря­мая RP ⊥ QR, по­сколь­ку QR || SA. Пря­мая RP ⊥ LK, по­сколь­ку ее про­ек­ция RA ⊥ LK. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая RP пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α, тогда RP  — рас­сто­я­ние от пря­мой SA до плос­ко­сти α. Это рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми SA и KM.

За­ме­тим, что AR : RH  =  AK : KB  =  2 : 7, по­сколь­ку пря­мые LK и CB па­рал­лель­ны.

Тогда

За­ме­тим, что где O  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды, тогда

Ответ: б)

а)  Пусть плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро AC в точке P. По­сколь­ку плос­кость α па­рал­лель­на ребру SA, она пе­ре­се­ка­ет грань SСA по пря­мой, па­рал­лель­ной SA. Тем самым, пря­мые MP и SA па­рал­лель­ны, тре­уголь­ни­ки CMP и CSA по­доб­ны, а

б)  Пусть плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ребро SB в точке L. Ана­ло­гич­но пунк­ту а) из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BKL и BAS на­хо­дим, что Из ра­вен­ства сле­ду­ет, что PK и CB па­рал­лель­ны.

Пусть, далее, H  — се­ре­ди­на ВC. Про­ведём SH и АH и пусть плос­кость SHА пе­ре­се­ка­ет α по пря­мой QR. Пря­мая SA па­рал­лель­на плос­ко­сти α, по­это­му ис­ко­мое рас­сто­я­ние от пря­мой SA до пря­мой КМ равно d(SA, QR)  — рас­сто­я­нию между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми SA и QR. Най­дем его.

Най­дем длины сто­рон тре­уголь­ни­ка SHА: Про­ведём вы­со­ту тре­уголь­ни­ка НT и най­дем её. Пусть тогда тогда, при­ме­няя тео­ре­му Пи­фа­го­ра, из тре­уголь­ни­ков AHT и SHT по­лу­ча­ем:

Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AKP и ABC по­лу­ча­ем: Тре­уголь­ни­ки QHR и SHA также по­доб­ны, а тогда плос­кость се­че­ния делит вы­со­ту HT в том же от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от точки T. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель за­ме­тит, что най­ден­ная длина от­рез­ка AT пре­вос­хо­дит всю длину ребра AS. Это озна­ча­ет, что в дей­стви­тель­но­сти, ос­но­ва­ние вы­со­ты HT лежит на про­дол­же­нии ребра SA за точку S.

а)  Пусть плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребра SB и AC в точ­ках L и N со­от­вет­ствен­но. По­сколь­ку пря­мая SA па­рал­лель­на плос­ко­сти пря­мая MN лежит в плос­ко­сти и пря­мые MN и SA лежат в одной плос­ко­сти, то MN|| SA , а зна­чит,

б)  Пусть точка H  — се­ре­ди­на ребра BC. Тогда ме­ди­а­ны AH и SH тре­уголь­ни­ков ABC и SBC со­от­вет­ствен­но яв­ля­ют­ся их вы­со­та­ми, а зна­чит, плос­кость ASH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC.

По­сколь­ку плос­кость па­рал­лель­на пря­мой SA, рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SA и KM равно рас­сто­я­нию между пря­мой SA и плос­ко­стью Пря­мые BC и KN па­рал­лель­ны, по­сколь­ку

Сле­до­ва­тель­но, пря­мая КN пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ASH, зна­чит, плос­ко­сти ASH и пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Пусть плос­кость ASH пе­ре­се­ка­ет пря­мые KN и LM в точ­ках E и F со­от­вет­ствен­но. Тогда рас­сто­я­ние между пря­мой SA и плос­ко­стью равно рас­сто­я­нию h между пря­мы­ми SA и EF.

Вы­со­та SO пи­ра­ми­ды SABC лежит в плос­ко­сти ASH, от­ку­да

Ответ: б)

а)  Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро SB в точке L. По­сколь­ку пря­мая BC па­рал­лель­на плос­ко­сти α, пря­мые LM и BC па­рал­лель­ны, а зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но, пря­мые KL и SA па­рал­лель­ны. Таким об­ра­зом, плос­кость α, со­дер­жа­щая пря­мую KL, па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Пусть точка H  — се­ре­ди­на ребра BC. Тогда ме­ди­а­ны AH и SH тре­уголь­ни­ков ABC и SBC со­от­вет­ствен­но яв­ля­ют­ся их вы­со­та­ми, а зна­чит, плос­кость ASH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой ВС.

Сле­до­ва­тель­но, плос­кость ASH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α, па­рал­лель­ной пря­мой BC, и плос­ко­сти SBC, со­дер­жа­щей пря­мую BC. По­сколь­ку плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой SA, ле­жа­щей в плос­ко­сти ASH, ис­ко­мый угол равен углу между пря­мой SA и плос­ко­стью SBC.

Таким об­ра­зом, угол между плос­ко­стя­ми α и SBC равен углу ASH. В тре­уголь­ни­ке ASH имеем:

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Ответ: б)