ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 526730 Добавить в вариант

Петя играет солдатиками из двух разных наборов. В первом наборе солдатиков меньше, чем во втором, но больше чем $46.$ А всего солдатиков у Пети меньше $111.$ Петя знает, что может построить колонну по несколько солдатиков в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдатиков, большее $8,$ и при этом ни в каком ряду не будет солдатиков из разных наборов.

а)  Сколько солдатиков может быть в первом наборе и сколько во втором? Приведите один пример.

б)  Может ли Петя построить колонну указанным способом по $13$ солдатиков в ряд?

в)  Сколько всего солдатиков может быть у Пети? Укажите все возможные варианты.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 526730: 555624 Все

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 19 № 555624 Добавить в вариант

Коля играет солдатиками из двух разных наборов. В первом наборе солдатиков меньше, чем во втором, но больше чем 50. А всего солдатиков у Коли меньше 120. Коля знает, что может построить колонну по несколько солдатиков в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдатиков, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдатиков из разных наборов.

а)  Сколько солдатиков может быть в первом наборе и сколько во втором? Приведите один пример.

б)  Может ли Коля построить колонну указанным способом по 11 солдатиков в ряд?

в)  Сколько всего солдатиков может быть у Коли? Укажите все возможные варианты.

Решение.

Пусть в первом наборе k солдатиков, во втором l солдатиков. Тогда числа k и l имеют общий делитель, больший 8, и при этом

$система выражений 50 меньше k меньше l, k плюс l меньше или равно 119. конец системы .$

а)  Например, 54 и 63 солдатика. Вместе солдатиков 117, их можно построить в колонну по 9 солдатиков в ряд так, что 6 рядов будет заполнено солдатиками только из первого набора, а 7 рядов  — только из второго.

б)  Предположим, что общий делитель равен 11. Тогда, учитывая, что $50 меньше k меньше 60,$ получаем, что $k = 55.$ Наименьшее возможное значение l равно $55 плюс 11=66,$ но вместе получается 121 солдатик, что противоречит условию.

в)  Число $l минус k$ больше нуля и делится на общий делитель чисел k и l, поэтому $l минус k больше или равно 8;k минус l меньше или равно минус 8,$ что вместе с условием $k плюс l меньше или равно 119$ приводит к неравенству $2k меньше или равно 111,$ то есть $k меньше или равно 55.$ При этом

$k плюс d меньше или равно l меньше или равно 119 минус k,$

где d  — наименьший общий делитель, превосходящий 7.

Если $k=51,$ то $d=17,l=68,$ а в наборах всего 119 солдатиков.

Если $k=52,$ то $65 меньше или равно l\leqslant67.$ Тогда $l=65,$ общий делитель равен 13 и $k плюс l=117.$

Если $k=53,$ то $53 плюс 53=106 меньше или равно l меньше или равно 66.$ Противоречие.

Если $k=54,$ то $54 плюс 9=63 меньше или равно l\leqslant65.$ Тогда $l=63,$ общий делитель равен 9 и в наборах всего 117 солдатиков.

Если $k=55,$ то $66 меньше или равно l\leqslant64,$ но числа 64 и 55 взаимно просты. Противоречие.

Ответ: а) Например, 54 и 63; б) нет; в) 117 или 119.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 526730: 555624 Все

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь