Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Запишем уравнение в виде 
и построим графики левой и правой частей. Из графиков, учитывая, что несовпадающие прямые имеют не более одной общей точки, получим следующее.
При a = 0 нет решений, т. к. левая часть равна 0, а правая не больше −2.
При 
два решения есть тогда и только тогда, когда точка A лежит ниже точки B:
то есть при 
При 
два решения есть тогда и только тогда, когда точка C лежит ниже точки D: 
то есть при 
Приведем аналитическое решение.
Раскроем модуль при 
получим
Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке: 
то есть
При 
имеем:
полученное уравнение не имеет решений при 
при 
имеет единственное решение 
Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке:
При 
имеем:
Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке, поэтому 
то есть
Таким образом, уравнение имеет ровно два различных решения 
или 
Ответ: или
Приведём решение Елизаветы Зелененькой (Москва).
Решим задачу графическим методом в координатах (x; a). Прямые x + 1 = 0 и x − 1 = 0 разбивают координатную плоскость три области, в каждой из которых модули раскрываются согласно приведенной ниже таблице.
| Выражение | 1 область | 2 область | 3 область |
| x + 1 | − | + | + |
| x − 1 | − | − | + |
Найдем вид уравнения в каждой из областей. В первой первой области:
это уравнение прямой с коэффициентом наклона k = −0,5. Во второй области:
Полученное уравнение задает гиперболу, вертикальной асимптотой которой является ось ординат. В третьей области:
это уравнение прямой с коэффициентом наклона k = −0,5. Построим график уравнения (см. рис.), отметим, что гипербола пересекает прямые в точках (−1; 2) и (1; −1).
Исходное уравнение имеет два решения тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая 
пересекает график в двух точках, то есть лежит выше точки пересечения гиперболы с первой прямой либо ниже точки пересечения гиперболы со второй прямой. Таким образом, или при
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
или Найти все значения параметра а при каждом из которых уравнение 
имеет ровно два решения.
Рассмотрим функцию 
раскроем модули:
Данная кусочно-линейная функция при 
возрастает на 
и убывает на 
А при 
возрастает на 
и убывает на 
Отдельно проверим, что при 
функция принимает лишь отрицательные значения.
Следовательно, функция f имеет по одному нулю на каждом из двух промежутков возрастания и убывания тогда и только тогда, когда наибольшее значение функции положительно. то есть при 
или 
:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| 4 | |
| 3 | |
| 2 | |
| 1 | |
| 0 | |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Запишем уравнение в виде 
обозначим левую и правую части f(x) и g(x) соответственно и построим графики этих функций. Их графиков получим следующее.
При a = 0 нет решений, т. к. левая часть равна 0, а правая не больше −3.
Несовпадающие прямые имеют не более одной общей точки, поэтому при уравнение имеет ровно два различных решения тогда и только тогда, когда 
откуда 
то есть при 
Рассуждая аналогично, заключаем, что при два решения есть тогда и только тогда, когда 
откуда 
то есть при 
Ответ: 
или 
Приведём аналитическое решение.
Рассмотрим три случая раскрытия модулей.
1 случай. При 
получаем
2 случай. При 
получаем
При 
система не имеет решений, при 
имеем
получаем 
Таким образом,
— при исходное уравнение имеет два корня 
и 
— при 
исходное уравнение имеет один корень 
— при 
исходное уравнение не имеет корней;
— при 
исходное уравнение имеет один корень 
— при 
исходное уравнение имеет два корня 
и 
Значит, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а. | 1 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а. | 2 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Максимальный балл | 4 |
или Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
При 
уравнение принимает вид 
откуда находим 
Корень 
удовлетворяет неравенству при 
откуда получаем 
При 
уравнение принимает вид 
При 
это уравнение не имеет корней, а при 
оно имеет единственный корень 
Корень 
принадлежит отрезку 
при 
откуда получаем
Следовательно, уравнение 
имеет корень на отрезке 
при 
и 
При 
уравнение принимает вид 
откуда находим 
Корень 
удовлетворяет неравенству при 
откуда находим 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при 
и
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Верно раскрыты модули в исходном уравнении, задача сведена к исследованию принадлежности корней соответствующим промежуткам в зависимости от значений a, и хотя бы один из случаев исследован верно | 1 |
Верно раскрыты модули в исходном уравнении. Задача сведена к исследованию принадлежности корней соответствующим промежуткам в зависимости от значений a, и хотя бы два случая исследованы верно, при этом исследовано количество корней исходного уравнения при  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек a = 1 и/или a = 4 | 3 |
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
При 
уравнение принимает вид 
откуда находим 
Корень 
удовлетворяет неравенству при 
откуда получаем
При 
уравнение принимает вид 
При 
это уравнение не имеет корней, а при 
оно имеет единственный корень 
Корень 
принадлежит отрезку 
при 
откуда получаем
Следовательно, уравнение 
имеет корень на отрезке при 
и
При 
уравнение принимает вид 
откуда находим 
Корень 
удовлетворяет неравенству при 
откуда получаем
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при 
и
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Верно раскрыты модули в исходном уравнении, задача сведена к исследованию принадлежности корней соответствующим промежуткам в зависимости от значений a, и хотя бы один из случаев исследован верно | 1 |
| Верно раскрыты модули в исходном уравнении. Задача сведена к исследованию принадлежности корней соответствующим промежуткам в зависимости от значений a, и хотя бы два случая исследованы верно, при этом исследовано количество корней исходного уравнения при ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек a = 1 и/или a = 4 | 3 |
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх