Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
При 
исходное уравнение принимает вид:
Получившееся уравнение задаёт на плоскости Oxa пару лучей: луч l1 с началом 
при 
и луч l2 с началом 
при 
Лучи l1 и l3 пересекаются 
исходное уравнение принимает вид:
Получившееся уравнение задаёт на плоскости Oxa пару лучей: луч l3 с началом в 
при 
и луч l4 с началом в 
при 
Лучи l3 и l4 пересекаются 
Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой 
с объединением лучей l1, l2, l3 и l4.
Каждый из лучей l1 и l3 пересекается с прямой в одной точке при 
и не пересекается при 
Каждый из лучей l2 и l4 пересекается с прямой в одной точке при 
и не пересекается при 
Следовательно, при 
и 
исходное уравнение имеет ровно два различных корня. При 
и при 
и 
исходное уравнение имеет ровно три корня.
При 
прямая проходит через точки пересечения лучей l3 и l4, l1 и l2. Значит, при 
исходное уравнение имеет ровно два корня.
Следовательно, при 
и 
исходное уравнение имеет ровно четыре корня.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при 
и 
Ответ: 
Приведем другое решение.
Пусть Тогда 
откуда 
значит, в этом случае корнями могут быть числа 
Получим два случая: 
при 
при 
Отдельно отметим, когда корни совпадают: 
при 
Пусть теперь 
Тогда 
откуда 
значит, в этом случае корнями уравнения могут быть числа 
и 
Получим два случая: 
при 
при 
Отдельно отметим, когда корни совпадают: 
при
Теперь подведем итоги:
— при корнями исходного уравнения являются числа x2 и x3 — 2 корня;
— при корнями исходного уравнения являются числа x1, x2 и x3 — 3 корня;
— при корнями исходного уравнения являются числа x1, x2, x3, x4 — 4 корня;
— при корнями исходного уравнения являются числа 
—
— при корнями исходного уравнения являются числа x1, x2, x3, x4 — 4 корня;
— при корнями исходного уравнения являются числа x1, x2, x4 — 3 корня;
— при корнями исходного уравнения являются числа x1 и x4 — 2 корня.
Таким образом, получаем
Приведем решение Натальи Захаровой.
Пусть 
тогда получим
Исходное уравнение имеет два корня, если корни t1 и t2 совпадают и при этом положительны, либо если один из них отрицательный, а второй положительный.
Корни 
и 
совпадают при в этом случае 
и исходное уравнение имеет два корня.
Корень отрицателен при 
тогда корень положителен, и исходное уравнение имеет два корня.
Корень отрицателен при тогда корень положителен, и исходное уравнение также имеет два корня.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек  и / или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получены промежутки  и  множества значений a, возможно с включением границИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
При исходное уравнение принимает вид:
Получившееся уравнение задаёт на плоскости Oxa пару лучей: луч l1 с началом 
при и луч l2 с началом 
при Лучи l1 и l3 пересекаются исходное уравнение принимает вид:
Получившееся уравнение задаёт на плоскости Oxa пару лучей: луч l3 с началом в 
при и луч l4 с началом в 
при Лучи l3 и l4 пересекаются
Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой с объединением лучей l1, l2, l3 и l4.
Каждый из лучей l1 и l3 пересекается с прямой в одной точке при 
и не пересекается при 
Каждый из лучей l2 и l4 пересекается с прямой в одной точке при 
и не пересекается при 
Следовательно, при 
и 
исходное уравнение имеет ровно два различных корня. При 
и при 
и 
исходное уравнение имеет ровно три корня.
При прямая проходит через точки пересечения лучей l3 и l4, l1 и l2. Значит, при исходное уравнение имеет ровно два корня.
Следовательно, при 
и 
исходное уравнение имеет ровно четыре корня.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при 
и 
Ответ: 
Приведем другое решение.
Перепишем уравнение в виде
Ровно два корня уравнение имеет в следующих случаях.
1) Правые части уравнений равны и положительны:
2) Правая часть одного из этих уравнений положительна, а другого — отрицательна:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх