ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 630666 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль

Найдите все значения a, при каждом из которых любое число из отрезка $3 меньше или равно x меньше или равно 6$ является решением уравнения

$|x минус a плюс 5| плюс |x плюс a минус 1|=2a минус 6.$

Решение.

Если $2a минус 6 меньше 0,$ то есть a < 3, то уравнение

$|x минус a плюс 5| плюс |x плюс a минус 1|=2a минус 6$

решений не имеет. При a  =  3 уравнение имеет вид $|x плюс 2| плюс |x плюс 2|=0$ и ни одно число из отрезка [3; 6] не является его решением.

При a > 3 запишем уравнение в виде

$|x минус левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка | плюс |x минус левая круглая скобка минус a плюс 1 правая круглая скобка |=2a минус 6.$

При a > 3 верно неравенство $минус a плюс 1 меньше a минус 5,$ и поэтому решением уравнения является любое число из отрезка $левая квадратная скобка минус a плюс 1;a минус 5 правая квадратная скобка ,$ поскольку длина этого отрезка равна $левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус a плюс 1 правая круглая скобка =2a минус 6,$ а уравнению удовлетворяют те и только те точки x, сумма расстояний от каждой из которых до точек $x=a минус 5$ и $x= минус a плюс 1$ равна 2a – 6.

Отрезок $левая квадратная скобка минус a плюс 1;a минус 5 правая квадратная скобка$ содержит отрезок [3; 6] тогда и только тогда, когда $минус a плюс 1 меньше или равно 3$ и $a минус 5 больше или равно 6,$ откуда следует, что $a больше или равно 11.$

Ответ: $a больше или равно 11.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки $a = 11$	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток значений a, содержащийся в интервале $левая круглая скобка 11; плюс бесконечность правая круглая скобка$	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения точек (аналитически или графически) ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: $a больше или равно 11.$

Аналоги к заданию № 630666: 630674 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 18 № 630674 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль

Найдите все значения a, при каждом из которых любое число из отрезка $2 меньше или равно x меньше или равно 4$ является решением уравнения

$|x минус a плюс 1| плюс |x плюс a минус 3|=2a минус 4.$

Решение.

Если $2a минус 4 меньше 0,$ то есть a < 2, то уравнение

$|x минус a плюс 1| плюс |x плюс a минус 3|=2a минус 4$

решений не имеет. При a  =  2 уравнение имеет вид $|x минус 1| плюс |x минус 1|=0$ и ни одно число из отрезка [2; 4] не является его решением. При a > 2 запишем уравнение в виде

$|x минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка | плюс |x минус левая круглая скобка минус a плюс 3 правая круглая скобка |=2a минус 4.$

При a > 2 верно неравенство $минус a плюс 3 меньше a минус 1,$ и поэтому решением уравнения является любое число из отрезка $левая квадратная скобка минус a плюс 3;a минус 1 правая квадратная скобка ,$ поскольку длина этого отрезка равна $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус a плюс 3 правая круглая скобка =2a минус 4,$ а уравнению удовлетворяют те и только те точки x, сумма расстояний от каждой из которых до точек $x=a минус 1$ и $x= минус a плюс 3$ равна 2a – 4.

Отрезок $левая квадратная скобка минус a плюс 3;a минус 1 правая квадратная скобка$ содержит отрезок [2; 4] тогда и только тогда, когда $минус a плюс 3 меньше или равно 2$ и $a минус 1 больше или равно 4,$ откуда следует, что $a больше или равно 5.$

Ответ: $a больше или равно 5.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки $a = 5$	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток значений a, содержащийся в интервале $левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка$	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения точек (аналитически или графически). ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: $a больше или равно 5.$

Аналоги к заданию № 630666: 630674 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе