а)  Да. Ясно, что если вы­би­рать члены a₂, a₃, ... a₅ до­ста­точ­но ма­лы­ми, то по­лу­чить не по­лу­чит­ся. Возь­мем (по­дой­дет любое на­ту­раль­ное число, кроме 1), а по­сле­ду­ю­щие члены будем брать наи­боль­ши­ми из воз­мож­ных. По­лу­чим:

Ясно, что можно взять

б)  Нет. При усло­вие при­ни­ма­ет вид от­ку­да Оце­ним a₆:

При и имеем: от­ку­да что про­ти­во­ре­чит не­ра­вен­ству

в)  По­про­бу­ем при­ме­нить ту же це­поч­ку оце­нок:

Таким об­ра­зом, От­сю­да можно сде­лать вывод, что и про­ве­рять, под­хо­дит ли но лучше пе­рей­ти от стро­гих не­ра­венств к не­стро­гим: этот сразу улуч­шит оцен­ку и под­ска­жет, как под­би­рать не­из­вест­ные члены.

За­пи­шем не­ра­вен­ство из усло­вия в виде по­лу­чим:

Те­перь Возь­мем вто­рой член наи­мень­шим из воз­мож­ных, а тре­тий и по­сле­ду­ю­щие члены наи­боль­ши­ми из воз­мож­ных, по­лу­чим по­сле­до­ва­тель­ность:

Ясно, что удо­вле­тво­ря­ет усло­вию. Тем самым наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние a₂ равно 40.

Ответ: а)  0, 4, 8, 12, 16, 20; б)  нет; в)  40.

При­ве­дем ав­тор­ское ре­ше­ние.

а)  На­при­мер, по­сле­до­ва­тель­ность 0, 4, 8, 12, 16, 20.

б)  От­ме­тим сразу, что если из всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­честь одно и то же число, ее свой­ство со­хра­нит­ся. Сле­до­ва­тель­но, будем счи­тать, что Итак, по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид и при этом:

Из пер­во­го не­ра­вен­ства тогда из вто­ро­го из тре­тье­го  — а по­то­му

что про­ти­во­ре­чит чет­вер­то­му не­ра­вен­ству.

в)  Пусть по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид По усло­вию

то есть

Сле­до­ва­тель­но,

а по­то­му Если вы­брать то все усло­вия будут вы­пол­не­ны.

а)  На­при­мер, по­сле­до­ва­тель­ность 0, 2, 4, 6, 8, 10.

б)  От­ме­тим сразу, что если из всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­честь одно и то же число, ее свой­ство со­хра­нит­ся. Сле­до­ва­тель­но, будем счи­тать, что Итак, по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид и при этом:

Из пер­во­го не­ра­вен­ства тогда из вто­ро­го из тре­тье­го  — а по­то­му

что про­ти­во­ре­чит чет­вер­то­му не­ра­вен­ству.

в)  Пусть по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид По усло­вию

то есть

Сле­до­ва­тель­но,

а по­то­му Если вы­брать то все усло­вия будут вы­пол­не­ны.

Ответ: а)  0, 2, 4, 6, 8, 10; б)  нет; в)  34.

а)  На­при­мер, по­сле­до­ва­тель­ность 0, 6, 12, 18, 24, 30.

б)  От­ме­тим сразу, что если из всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­честь одно и то же число, ее свой­ство со­хра­нит­ся. Сле­до­ва­тель­но, будем счи­тать, что Итак, по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид и при этом:

Из пер­во­го не­ра­вен­ства тогда из вто­ро­го из тре­тье­го  — а по­то­му

что про­ти­во­ре­чит чет­вер­то­му не­ра­вен­ству.

в)  Пусть по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид По усло­вию

то есть

Сле­до­ва­тель­но,

а по­то­му Если вы­брать то все усло­вия будут вы­пол­не­ны.

Ответ: а)  0, 6, 12, 18, 24, 30; б)  нет; в)  37.