Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. Отрезок EH — перпендикуляр из точки E на прямую MK.
а) Докажите, что EK ∥ CH.
б) Известно, что AC = 15, BC = 8. Найти отношение CH к EK.
Сумма углов MCE и MHE равна 180°, поэтому четырехугольник MHEC — вписанный. Следовательно, углы EMH и ECH равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу, которую стягивает эта хорда, а потому 
Таким образом, 
то есть при пересечении прямых EK и CH секущей BC соответственные углы равны, а такие прямые параллельны.
Пусть 
тогда из равнобедренного треугольника BEK находим 
Получаем:
Из условия получаем:
Отрезок EM — диаметр описанной около четырехугольника CEHM окружности, потому что на него опираются два прямых угла. Эта окружность служит описанной и для треугольника CEH. По свойству вписанного четырехугольника получаем 
По теореме синусов для треугольника CEH находим:
а потому
2
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. Отрезок EH — перпендикуляр из точки E на прямую MK.
а) Докажите, что EK ∥ CH.
б) Известно, что AC = 12, BC = 5. Найти отношение CH к EK.
Пусть 
Отрезок EM — диаметр описанной около четырехугольника CEHM окружности, потому что на него опираются два прямых угла. Эта окружность служит описанной и для треугольника CEH. По свойству вписанного четырехугольника получаем 
а потому
