Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 132263

Найдите наименьшее значение функции y= минус 4x плюс 2 тангенс x плюс Пи плюс 13 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

{y}'= дробь, числитель — 2, знаменатель — косинус в степени 2 x минус 4= дробь, числитель — минус 2(2 косинус в степени 2 x минус 1), знаменатель — косинус в степени 2 x = минус дробь, числитель — 2 косинус 2x, знаменатель — косинус в степени 2 x .

Найдем нули производной:

 система выражений  новая строка 2 косинус 2x=0,  новая строка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 <p> конец системы . равносильно система выражений x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 2 ,k принадлежит Z , минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 ,  новая строка x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . <p> конец совокупности .

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Функция может принимать наименьшее значение в точках x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 или x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . Найдем их:

y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка =4 умножить на дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 минус 2 тангенс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс Пи плюс 13 = дробь, числитель — 7, знаменатель — 3 Пи минус 2 корень из 3 плюс 13 ,

 

y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка = минус 4 умножить на дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс 2 тангенс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи плюс 13=15.

Поскольку  y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка больше 7 минус 4 плюс 13 = 16, наименьшее из найденных чисел равно 15.

 

Ответ: 15.

Классификатор базовой части: 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке