Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 132267

Найдите наименьшее значение функции y= минус 6x плюс 3 тангенс x плюс 1,5 Пи плюс 12 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

{y}'= дробь, числитель — 3, знаменатель — косинус в степени 2 x минус 6= дробь, числитель — 3(1 минус 2 косинус в степени 2 x), знаменатель — косинус в степени 2 x = минус дробь, числитель — 3 косинус 2x, знаменатель — косинус в степени 2 x .

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 система выражений  новая строка 3 косинус 2x=0,  новая строка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 <p> конец системы . равносильно система выражений x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 2 , k принадлежит Z , минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 ;  новая строка x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . <p> конец совокупности .

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Наименьшим значением функции является меньшее значение из чисел y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка и y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка . Сравним их:

y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка =3\operatorname{ тангенс } дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 минус 1,5 Пи плюс 1,5 Пи плюс 12=15,

y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка = минус 6 умножить на левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка плюс 3 тангенс левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка плюс 1,5 Пи плюс 12=3,5 Пи минус 3 корень из { 3} плюс 12.

Заметим, что y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка меньше y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка . Следовательно, наименьшим значением функции будет y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка =15.

 

Ответ: 15.

Классификатор базовой части: 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке