ЕГЭ−2021, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 12 № 132223

Найдите наименьшее значение функции

$y= минус 8x плюс 4 тангенс x плюс 2 Пи плюс 8$

на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .$

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите наименьшее значение функции $y= минус 14x плюс 7 тангенс x плюс дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 плюс 11$ на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .$

Найдем производную заданной функции:

${y}'= дробь, числитель — 7, знаменатель — косинус в степени 2 x минус 14= дробь, числитель — минус 7(2 косинус в степени 2 x минус 1), знаменатель — косинус в степени 2 x = минус дробь, числитель — 7 косинус 2x, знаменатель — косинус в степени 2 x .$

Найдем нули производной:

$система выражений новая строка 7 косинус 2x=0, новая строка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше x меньше дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно система выражений x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 2 ,k принадлежит Z , минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше x меньше дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 , новая строка x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . конец совокупности .$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Функция может принимать наименьшее значение в точках $x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3$ или $x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 .$ Найдем их:

$y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка = минус 7 тангенс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 14 умножить на дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 плюс 11 = минус 7 корень из 3 плюс дробь, числитель — 49, знаменатель — 6 Пи плюс 11$ ,

$y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка =7 тангенс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 минус 3,5 Пи плюс 3,5 Пи плюс 11=18.$

Поскольку $y( минус Пи /3) больше минус 14 плюс 24 плюс 11 = 21$ , наименьшее из найденных чисел равно 18.

Ответ: 18.

Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина