Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 3 № 27457

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корень из { 2}.

Решение.

Достроим угол до треугольника BOA и опустим высоту OK на основание AB. Из рисунка находим OK=1, OA= корень из { 10}, OB= корень из { 5}, AB=5. Воспользуемся теоремой синусов:

 

 дробь, числитель — OA, знаменатель — синус \angle ABO = дробь, числитель — AB, знаменатель — синус \angle AOB ,   где  синус \angle ABO= дробь, числитель — OK, знаменатель — OB = дробь, числитель — корень из { 5}, знаменатель — 5 .

Тогда:

2 корень из { 2} синус \angle AOB=2 корень из { 2} умножить на дробь, числитель — AB корень из { 5}, знаменатель — 5OA =2.

 

Ответ: 2.

 

Приведем другое решение.

По теореме косинусов в треугольнике АОВ имеем: AB в степени 2 =AO в степени 2 плюс OB в степени 2 минус 2AO умножить на OB косинус \angle AOB, откуда  косинус \angle AOB = минус дробь, числитель — корень из 2 , знаменатель — 2 . Тогда из основного тригонометрического тождества находим  синус \angle AOB= дробь, числитель — корень из 2 , знаменатель — 2 , что дает  2 корень из 2 синус \angle AOB = 2.

 

Приведем решение Николая Журавлева.

Продлим прямую AO за точку О и отложим на ней отрезок ОD, равный OA. Точка D будет расположена на три клетки влево и на одну клетку вниз от точки O. Рассмотрим треугольник BOD: BO=BD= корень из { 5}, OD= корень из { 10}, следовательно, треугольник BOD равнобедренный прямоугольный, тогда угол BOD равен 45 градусов, а смежный с ним угол AOB равен 135 градусов. Синусы смежных углов равны, поэтому

 2 корень из 2 синус \angle AOB = 2 корень из 2 синус 45 в степени circ = 2 корень из 2 умножить на \dfrac{ корень из 2 }{2}=2.

 


Аналоги к заданию № 27459: 27457 27458 Все

Методы геометрии: Теорема синусов