Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 3 № 27459

Найдите тангенс угла AOB. Сторона одной клетки равна 1.

Решение.

Достроим угол до треугольника BOA. Из рисунка находим: OA= корень из { 10}, OB= корень из { 5}, AB=5. Воспользуемся теоремой косинусов:

A{{B} в степени 2 }=O{{B} в степени 2 } плюс O{{A} в степени 2 } минус 2OB умножить на OA умножить на косинус AOB.

Тогда:

 косинус AOB= дробь, числитель — O{{B} в степени 2 } плюс O{{A} в степени 2 } минус A{{B} в степени 2 }, знаменатель — 2OB умножить на OA = дробь, числитель — 5 плюс 10 минус 25, знаменатель — 2 умножить на корень из { 5 умножить на корень из { 10}}= минус дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 .

 

Поэтому угол  AOB равен 135°, а его тангенс равен −1.

 

Ответ: −1.

 

Приведём другое решение.

Пусть  \alpha = \widehat{BOH}, \beta = \widehat{AOH}, тогда  тангенс \alpha = дробь, числитель — BH, знаменатель — HO = 2,  тангенс \beta = дробь, числитель — AH, знаменатель — HO = 3, и, следовательно,

 тангенс \widehat{BOA} = тангенс (\alpha плюс \beta) = дробь, числитель — тангенс \alpha плюс тангенс \beta, знаменатель — 1 минус тангенс \alpha тангенс \beta = дробь, числитель — 2 плюс 3, знаменатель — 1 минус 2 умножить на 3 = минус 1.

 

 

 

Приведём другое решение.

Отложим на продолжении прямой BO за точку O отрезок OK = BO и проведём отрезок  AK. Заметим, что OK = KA = корень из 5 , OA = корень из { 10}. Поэтому треугольник OKA — прямоугольный равнобедренный, углы при его основании равны 45 в степени circ, а тогда  \widehat{BOA} = 135 в степени circ, и  тангенс \widehat{BOA} = минус 1.

 


Аналоги к заданию № 27459: 27457 27458 Все

Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор базовой части: 5.1.1 Треугольник, 5.5.1 Величина угла, градусная мера угла