Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 484562

В кубе ABCDA1B1C1D1

а) Докажите, что плоскость BA1C1 и прямая B_1D перпендикулярны.

б) Найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1D1.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что проекция прямой B_1D на плоскость ABB_1 это прямая AB_1. Проекция прямой B_1D на плоскость BB_1C это прямая B_1C. B_1C\perp BC_1 и AB_1\perp A_1B как диагонали квадрата. Таким образом, по теореме о трех перпендикулярах B_1D\perp BC_1 и B_1D\perpA_1B. Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, B_1D\perp A_1BC_1.

б) Пусть точка O — центр куба, а M — середина A_1B. A_1D_1\bot A_1B, а MO — средняя линия треугольника BA_1D_1, поэтому MO\bot A_1B. Треугольник BA_1C_1 — равносторонний, C_1M\bot A_1B, следовательно, искомый угол равен углу OMC_1.

Примем длины ребер куба за a. Найдем стороны треугольника OMC_1. Из треугольника BA_1D_1, находим OM= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби , из равностороннего треугольника BA_1C_1 находим

MC_1= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби A_1C_1= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби умножить на a корень из (2) =a корень из ( дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ) .

Поскольку O — середина диагонали AC_1, то OC_1=a дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби . Теперь применим к треугольнику OMC_1 теорему косинусов:

 косинус \angle OMC_1= дробь: числитель: OM в квадрате плюс MC_1 в квадрате минус OC_1 в квадрате , знаменатель: 2 умножить на OM умножить на MC_1 конец дроби = дробь: числитель: \dfrac1, знаменатель: 4 конец дроби a в квадрате плюс \dfrac32a в квадрате минус \dfrac34a в квадрате 2 умножить на \dfrac12a умножить на a корень из (\dfrac3) 2=\dfraca в квадрате a в квадрате корень из (\dfrac3) 2= корень из (\dfrac2) 3.

Ответ:  корень из ( дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 484562: 505549 507496 Все

Спрятать решение · ·
Гость 02.12.2012 19:08

А ответ корень из 6 делить на 3 приняли бы?

Служба поддержки

Да.