а) В квадрате диагонали перпендикулярны, поэтому . Кроме того, , так как BC перпендикулярна плоскости . Отсюда получаем, что прямая перпендикулярна плоскости . А тогда, по признаку перпендикулярности плоскостей, получаем требуемое (ведь плоскость содержит прямую, перпендикулярную плоскости ).

б) Пусть точка M — середина отрезка Примем длины ребер куба за Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Аналогично, Опустим перпендикуляры и CK на сторону треугольники и равносторонние, поэтому перпендикуляры и CK также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки H, K и M совпадают. Угол  — искомый. Из прямоугольного треугольника

По теореме косинусов из треугольника

Следовательно, угол между плоскостями равен

Ответ:

Примечание.

Укажем другой путь нахождения угла B₁MC. В прямоугольнике CDA₁B₁ проведём через точку M — середину боковой стороны DA₁ — отрезок MK, параллельный стороне CD (см. рис.). Тогда:

а) Спроецируем прямую на плоскости и . Получатся прямые и . Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, и . Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, . Что и требовалось доказать.

б) Пусть точка M — середина отрезка Примем длины ребер куба за Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Аналогично, Опустим перпендикуляры и CK на сторону треугольники и равносторонние, поэтому перпендикуляры и CK также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки H, K и M совпадают. Угол  — искомый. Из прямоугольного треугольника

По теореме косинусов из треугольника

Ответ: