
В кубе ABCDA1B1C1D1
а) Докажите, что плоскости и
перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями AB1D1 и ACD1.
а) В квадрате диагонали перпендикулярны, поэтому
. Кроме того,
, так как BC перпендикулярна плоскости
. Отсюда получаем, что прямая
перпендикулярна плоскости
. А тогда, по признаку перпендикулярности плоскостей, получаем требуемое (ведь плоскость
содержит прямую, перпендикулярную плоскости
).
б) Пусть точка M — середина отрезка Примем длины ребер куба за
Из прямоугольного треугольника
по теореме Пифагора найдём
Аналогично, Опустим перпендикуляры
и CK на сторону
треугольники
и
равносторонние, поэтому перпендикуляры
и CK также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки H, K и M совпадают. Угол
— искомый. Из прямоугольного треугольника
По теореме косинусов из треугольника
Следовательно, угол между плоскостями равен
Ответ:
Примечание.
Укажем другой путь нахождения угла B1MC. В прямоугольнике CDA1B1 проведём через точку M — середину боковой стороны DA1 — отрезок MK, параллельный стороне CD (см. рис.). Тогда:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
---|---|
Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Максимальный балл | 2 |