РЕШУ ЕГЭ

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задания Д6 C2 № 507496

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостями AB₁D₁ и ACD₁.

Решение.

Пусть точка $\text{[math]}$ — середина отрезка $\text{[math]}$ Примем длины ребер куба за $\text{[math]}$ Из прямоугольного треугольника $\text{[math]}$ по теореме Пифагора найдём $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Аналогично, $\text{[math]}$ Опустим перпендикуляры $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ на сторону $\text{[math]}$ треугольники $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ равносторонние, поэтому перпендикуляры $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ совпадают. Угол $\text{[math]}$ — искомый. Из прямоугольного треугольника $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

По теореме косинусов из треугольника $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Следовательно, угол между плоскостями равен $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Примечание.

Укажем другой путь нахождения угла B₁MC. В прямоугольнике CDA₁B₁ проведём через точку M — середину боковой стороны DA₁ — отрезок MK, параллельный стороне CD (см. рис.). Тогда:

$\text{[math]}$

Аналоги к заданию № 484562: 505549 507496 Все

Классификатор стереометрии: Куб, Сечение -- треугольник, Сечение, проходящее через три точки, Угол между плоскостями

Спрятать решение · Прототип задания · ·

Сообщить об ошибке · Помощь