В кубе ABCDA1B1C1D1
а) Докажите, что плоскости 
и 
перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями AB1D1 и ACD1.
а) В квадрате 
диагонали перпендикулярны, поэтому 
. Кроме того, 
, так как BC перпендикулярна плоскости 
. Отсюда получаем, что прямая 
перпендикулярна плоскости . А тогда, по признаку перпендикулярности плоскостей, получаем требуемое (ведь плоскость содержит прямую, перпендикулярную плоскости ).
б) Пусть точка M — середина отрезка 
Примем длины ребер куба за 
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём 
Аналогично, 
Опустим перпендикуляры 
и CK на сторону треугольники и 
равносторонние, поэтому перпендикуляры и CK также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки H, K и M совпадают. Угол 
— искомый. Из прямоугольного треугольника 
По теореме косинусов из треугольника 
Следовательно, угол между плоскостями равен 
Ответ: 
Примечание.
Укажем другой путь нахождения угла B1MC. В прямоугольнике CDA1B1 проведём через точку M — середину боковой стороны DA1 — отрезок MK, параллельный стороне CD (см. рис.). Тогда:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |