Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 507496

В кубе ABCDA1B1C1D1

а) Докажите, что плоскости AB_1D_1 и A_1BC перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями AB1D1 и ACD1.

Спрятать решение

Решение.

а) В квадрате ABB_1A_1 диагонали перпендикулярны, поэтому AB_1\perp A_1B. Кроме того, AB_1\perp BC, так как BC перпендикулярна плоскости ABB_1. Отсюда получаем, что прямая AB_1 перпендикулярна плоскости A_1BC. А тогда, по признаку перпендикулярности плоскостей, получаем требуемое (ведь плоскость AB_1D_1 содержит прямую, перпендикулярную плоскости A_1BC).

б) Пусть точка M — середина отрезка AD_1 Примем длины ребер куба за a. Из прямоугольного треугольника ABB_1 по теореме Пифагора найдём AB_1:

AB_1= корень из (AB в квадрате плюс BB_1 в квадрате ) =a корень из (2) .

Аналогично, B_1D_1=CD_1=AD_1=AC=B_1C=a корень из (2) . Опустим перпендикуляры B_1H и CK на сторону AD_1 треугольники AB_1D_1 и ACD_1 равносторонние, поэтому перпендикуляры B_1H и CK также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки H, K и M совпадают. Угол B_1MC — искомый. Из прямоугольного треугольника AB_1M:

B_1M= корень из (AB_1 в квадрате минус AM в квадрате ) = корень из (AB_1 в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: AD_1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ) = корень из (2a в квадрате минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ) = дробь: числитель: a корень из (3) , знаменатель: корень из (2) конец дроби .

По теореме косинусов из треугольника B_1MC:

 косинус \angle B_1MC= дробь: числитель: B_1M в квадрате плюс MC в квадрате минус B_1C в квадрате , знаменатель: 2B_1M умножить на MC конец дроби = дробь: числитель: \dfrac3a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс \dfrac3a в квадрате 2 минус 2a в квадрате 2 умножить на \dfraca корень из (3) корень из (2) умножить на \dfraca корень из (3) корень из (2) }= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Следовательно, угол между плоскостями равен \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ: \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Примечание.

Укажем другой путь нахождения угла B1MC. В прямоугольнике CDA1B1 проведём через точку M — середину боковой стороны DA1 — отрезок MK, параллельный стороне CD (см. рис.). Тогда:

 \widehatB_1MC = 2\widehatKMC = 2\widehatMCD = 2\arctg дробь: числитель: MD, знаменатель: DC конец дроби = 2\arctg дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 484562: 505549 507496 Все