Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 484621
i

На сто­ро­не CD квад­ра­та ABCD по­стро­ен рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник CPD. Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ADP, про­ведённую из вер­ши­ны D, если из­вест­но, что сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть точки P и A лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD (рис. 1). Тре­уголь­ник ADP  — рав­но­бед­рен­ный (AD  =  DC  =  DP  =  1), по­это­му

\angle DAP= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус \angle ADP пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус 60 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =75 гра­ду­сов.

Пусть DH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ADP. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ADH на­хо­дим, что

DH=AD синус \angle DAH=1 умно­жить на синус 75 гра­ду­сов = ко­си­нус 15 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Пусть те­перь точки P и A лежат но раз­ные сто­ро­ны от пря­мой CD (рис. 2). Тре­уголь­ник ADP  — рав­но­бед­рен­ный (AD  =  DC  =  DP  =  1), по­это­му \angle DAP= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180} гра­ду­сов минус \angle PDA пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов плюс 60 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =15 гра­ду­сов.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ADH на­хо­дим, что

DH=AD синус \angle DAH=1 умно­жить на синус 15 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби или дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

При­ме­ча­ние.

На наш взгляд, в от­ве­те можно было оста­вить вы­ра­же­ния ко­си­нус 15 гра­ду­сов и синус 15 гра­ду­сов. Тем не менее, на при­ме­ре вы­чис­ле­ния зна­че­ния синус 15 гра­ду­сов ука­жем два спо­со­ба на­хож­де­ния этих ве­ли­чин:

синус 15 гра­ду­сов = синус левая круг­лая скоб­ка 45 гра­ду­сов минус 30 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка = синус 45 гра­ду­сов ко­си­нус 30 гра­ду­сов минус ко­си­нус 45 гра­ду­сов синус 30 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 }2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: конец дроби sqrt6 минус ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби

или, ис­поль­зуя фор­му­лу по­ло­вин­но­го угла:

синус 15 гра­ду­сов = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 30 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2.

За­ме­тим, кста­ти, что одно из воз­мож­ных до­ка­за­тельств ра­вен­ства по­лу­чен­ных вы­ра­же­ния сво­дит­ся к вы­де­ле­нию пол­но­го квад­ра­та из-под знака корня:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из 3 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 4 минус 2 ко­рень из 3 конец ар­гу­мен­та 2} = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та 2} = дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: | конец дроби 1 минус ко­рень из 3 |, зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: конец дроби sqrt3 минус 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции, и по­лу­чен пра­виль­ный ответ 3
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но пра­виль­ное зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны2
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная гео­мет­ри­че­ская кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, не­пра­виль­ное из-за гео­мет­ри­че­ской ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 484621: 484623 Все

Методы алгебры: Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь
Гость 30.05.2013 18:49

Для справ­ки:

 

синус 15 гра­ду­сов= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби конец ар­гу­мен­та 2, ко­си­нус 15 гра­ду­сов= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби конец ар­гу­мен­та 2.

 

Евгений Пифагор 25.06.2013 13:25

Школь­ни­ки не долж­ны знать зна­че­ние ко­си­ну­са или си­ну­са 15 гра­ду­сов, чтобы ре­шить эту за­да­чу. Я (пре­по­да­ва­тель) не знал их даже. За­да­ча ре­ша­ет­ся через рас­смот­ре­ние мно­же­ства пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и при­ме­не­ние мно­же­ства раз тео­ре­мы Пи­фа­го­ра. Ответ у меня по­лу­чил­ся чуть-чуть дру­гой: ко­рень из 3 - 0,75 и - ко­рень из 3 - 0,75. Если будет нужно, могу при­слать ре­ше­ние.

Константин Лавров

Что долж­ны или не долж­ны знать школь­ни­ки, во­прос слож­ный. В любом слу­чае, вы как пре­по­да­ва­тель име­е­те воз­мож­ность на­учить их на­хо­дить синус 15 гра­ду­сов и ко­си­нус 15 гра­ду­сов. Знать их на­и­зусть, дей­стви­тель­но, не нужно. По­лу­чен­ный вами ответ про­верь­те, он от­ли­ча­ет­ся от пра­виль­но­го.

Ирина Ефремова 13.03.2014 16:34

хо­чет­ся пред­ло­жить дру­гой ва­ри­ант ре­ше­ния, без ис­поль­зо­ва­ния си­ну­са и ко­си­ну­са 15 гра­ду­сов. В тре­уголь­ни­ке ADP угол ADP равен 30 или 150 гра­ду­сов, сто­ро­ны AD и DP равны 1, зна­чит, можно найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADP через сто­ро­ны и синус угла между ними и по тео­ре­ме ко­си­ну­сов найти AP. Зная пло­щадь и AP, легко на­хо­дим DH как вы­со­ту, про­ве­ден­ную к AP

Катя Жданова 04.04.2017 11:33

По­че­му если ре­шать раз­ны­ми спо­со­ба­ми, то по­лу­ча­ют­ся раз­ные от­ве­ты??

Константин Лавров

Может стоит еще взять на себя труд уста­но­вить, что, на самом деле, ответ по­лу­ча­ет­ся один и тот же? Если, ко­неч­но, ре­ше­ния верны.



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026