На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.
Пусть точки P и A лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому
Пусть DH — высота треугольника ADP. Из прямоугольного треугольника ADH находим, что
Пусть теперь точки P и A лежат но разные стороны от прямой CD (рис. 2). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому 
Из прямоугольного треугольника ADH находим, что
Ответ: 
или 
Примечание.
На наш взгляд, в ответе можно было оставить выражения 
и 
Тем не менее, на примере вычисления значения 
укажем два способа нахождения этих величин:
или, используя формулу половинного угла:
Заметим, кстати, что одно из возможных доказательств равенства полученных выражения сводится к выделению полного квадрата из-под знака корня:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Для справки:
Школьники не должны знать значение косинуса или синуса 15 градусов, чтобы решить эту задачу. Я (преподаватель) не знал их даже. Задача решается через рассмотрение множества прямоугольных треугольников и применение множества раз теоремы Пифагора. Ответ у меня получился чуть-чуть другой: корень из 3 - 0,75 и - корень из 3 - 0,75. Если будет нужно, могу прислать решение.
Что должны или не должны знать школьники, вопрос сложный. В любом случае, вы как преподаватель имеете возможность научить их находить
и 
. Знать их наизусть, действительно, не нужно. Полученный вами ответ проверьте, он отличается от правильного.
хочется предложить другой вариант решения, без использования синуса и косинуса 15 градусов. В треугольнике ADP угол ADP равен 30 или 150 градусов, стороны AD и DP равны 1, значит, можно найти площадь треугольника ADP через стороны и синус угла между ними и по теореме косинусов найти AP. Зная площадь и AP, легко находим DH как высоту, проведенную к AP
Почему если решать разными способами, то получаются разные ответы??
Может стоит еще взять на себя труд установить, что, на самом деле, ответ получается один и тот же? Если, конечно, решения верны.