Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 484621

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Спрятать решение

Решение.

Пусть точки P и A лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому

\angle DAP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (180 градусов минус \angle ADP)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (180 градусов минус (90 градусов минус 60 градусов ))=75 градусов.

Пусть DH — высота треугольника ADP. Из прямоугольного треугольника ADH находим, что

DH=AD синус \angle DAH=1 умножить на синус 75 градусов = косинус 15 градусов = дробь: числитель: корень из (6) плюс корень из (2) , знаменатель: 4 конец дроби .

Пусть теперь точки P и A лежат но разные стороны от прямой CD (рис. 2). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому \angle DAP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (180} градусов минус \angle PDA)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (180 градусов минус (90 градусов плюс 60 градусов ))=15 градусов.

Из прямоугольного треугольника ADH находим, что

DH=AD синус \angle DAH=1 умножить на синус 15 градусов = дробь: числитель: корень из (6) минус корень из (2) , знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: корень из (6) плюс корень из (2) , знаменатель: 4 конец дроби или  дробь: числитель: корень из (6) минус корень из (2) , знаменатель: 4 конец дроби .

 

Примечание.

На наш взгляд, в ответе можно было оставить выражения  косинус 15 градусов и  синус 15 градусов. Тем не менее, на примере вычисления значения  синус 15 градусов укажем два способа нахождения этих величин:

 синус 15 градусов = синус (45 градусов минус 30 градусов) = синус 45 градусов косинус 30 градусов минус косинус 45 градусов синус 30 градусов = дробь: числитель: корень из 2 }2 умножить на дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: {, знаменатель: конец дроби sqrt6 минус корень из 2 , знаменатель: 4 конец дроби

или, используя формулу половинного угла:

 синус 15 градусов = корень из ( дробь: числитель: 1 минус косинус 30 градусов, знаменатель: 2 конец дроби ) = корень из ( дробь: числитель: 1 минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби ) = корень из ( дробь: числитель: 2 минус корень из 3 , знаменатель: 4 конец дроби ) = дробь: числитель: корень из (2 минус корень из 3 , знаменатель: ) конец дроби 2.

Заметим, кстати, что одно из возможных доказательств равенства полученных выражения сводится к выделению полного квадрата из-под знака корня:

 корень из (2 минус корень из 3 ) = корень из ( дробь: числитель: 4 минус 2 корень из 3 ) 2} = корень из ( дробь: числитель: (1 минус корень из 3 ) в квадрате ) 2} = дробь: числитель: {, знаменатель: | конец дроби 1 минус корень из 3 |, знаменатель: корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: {, знаменатель: конец дроби sqrt3 минус 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 484621: 484623 Все

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства
Спрятать решение · ·
Гость 30.05.2013 18:49

Для справки:

 

 синус 15 градусов= дробь: числитель: корень из (2 минус корень из (3, знаменатель: ) конец дроби ) 2, косинус 15 градусов= дробь: числитель: корень из (2 плюс корень из (3, знаменатель: ) конец дроби ) 2.

 

Гость 25.06.2013 13:25

Школьники не должны знать значение косинуса или синуса 15 градусов, чтобы решить эту задачу. Я (преподаватель) не знал их даже. Задача решается через рассмотрение множества прямоугольных треугольников и применение множества раз теоремы Пифагора. Ответ у меня получился чуть-чуть другой: корень из 3 - 0,75 и - корень из 3 - 0,75. Если будет нужно, могу прислать решение.

Константин Лавров

Что должны или не должны знать школьники, вопрос сложный. В любом случае, вы как преподаватель имеете возможность научить их находить  синус 15 градусов и  косинус 15 градусов. Знать их наизусть, действительно, не нужно. Полученный вами ответ проверьте, он отличается от правильного.

Ирина Ефремова 13.03.2014 16:34

хочется предложить другой вариант решения, без использования синуса и косинуса 15 градусов. В треугольнике ADP угол ADP равен 30 или 150 градусов, стороны AD и DP равны 1, значит, можно найти площадь треугольника ADP через стороны и синус угла между ними и по теореме косинусов найти AP. Зная площадь и AP, легко находим DH как высоту, проведенную к AP

Катя Жданова 04.04.2017 11:33

Почему если решать разными способами, то получаются разные ответы??

Константин Лавров

Может стоит еще взять на себя труд установить, что, на самом деле, ответ получается один и тот же? Если, конечно, решения верны.