ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д14 C4 № 484623 Добавить в вариант

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ABP, проведённую из вершины A, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Спрятать решение

Решение.

Пусть точки Р и А лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник BCP  — равнобедренный (BC = CD = CP = 1), поэтому

$\angle CBP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BCP правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка =75 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

значит,

$\angle ABP=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 75 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Пусть AH  — высота треугольника ABP. Из прямоугольного треугольника ABH находим, что

$AH=AB синус \angle ABH=AB синус \angle ABP=1 умножить на синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Пусть теперь точки P и A лежат по разные стороны от прямой CD (рис. 2). Треугольник BCP  — равнобедренный (BC = CD = CP = 1), поэтому

$\angle CBP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BCP правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка =15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

значит,

$\angle ABP=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =75 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

Из прямоугольного треугольника ABH находим, что

$AH=AB синус \angle ABH=AB синус \angle ABP=1 умножить на синус 75 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = синус 75 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби$ или $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 484621: 484623 Все

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь