Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 500009
i

Дан тре­уголь­ник АВС, пло­щадь ко­то­ро­го равна 55. Точка Е на пря­мой АС вы­бра­на так, что тре­уголь­ник АВЕ ― рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем АЕ и вы­со­той BD. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABE, если из­вест­но, что ∠ABE = ∠CBD  =  α и \operatorname тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вве­дем сле­ду­ю­щие обо­зна­че­ния: AB=BE=c, BC=a, BD=h.

 

1 слу­чай (точка E лежит между точ­ка­ми A и С, см. рис. 1).

 

Тре­уголь­ник АВЕ рав­но­бед­рен­ный, по­это­му \angle ABD=\angle DBE= дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , а зна­чит, \angle CBE= дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Углы ABE и CBD тре­уголь­ни­ков ABE и CBD равны, зна­чит,

дробь: чис­ли­тель: S_\Delta DBE, зна­ме­на­тель: S_\Delta CBE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: hc, зна­ме­на­тель: ac конец дроби = дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: a конец дроби = ко­си­нус альфа ,

от­ку­да S_\Delta DBE=S_\Delta CBE ко­си­нус альфа .

 

По­сколь­ку ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс \operatorname тан­генс конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , по­лу­ча­ем

S_\Delta DBE= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби S_\Delta CBE,

от­ку­да

S_\Delta ABE= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби S_\Delta CBE,

зна­чит,

S_\Delta ABE= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби S_\Delta ABC = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби умно­жить на 55 =30.

 

2 слу­чай (точка A лежит между точ­ка­ми E и С, см. рис. 2).

 

Ана­ло­гич­но слу­чаю 1 на­хо­дим

S_\Delta ABE= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби S_\Delta ABC = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 55=66.

 

Ответ: 30 или 66.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции, и по­лу­чен пра­виль­ный ответ3
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная кон­фи­гу­ра­ция, для ко­то­рой по­лу­че­но пра­виль­ное зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны или рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции, но по­лу­чен не­пра­виль­ный ответ из-за одной ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки2
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная гео­мет­ри­че­ская кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, не­пра­виль­ное из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 500003: 500009 511331 Все

Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026